Gen geometric
În geometria algebrică genul geometric este un invariant birațional fundamental Format:Mvar în Format:Ill-wd și Format:Ill-wd.
Definiție
Genul geometric poate fi definit pentru varietăți proiective complexe nesingulare și, în general, pentru varietăți complexe ca Format:Ill-wd Format:Math (egal cu Format:Math prin Format:Ill-wd) , adică dimensiunea sistemului liniar canonic plus unu.
Cu alte cuvinte, pentru o varietate Format:Mvar de dimensiune complexă Format:Mvar este numărul de Format:Mvar-forme olomorfe liniar independente care se găsesc în Format:Mvar.[1] Acestă definiție, ca dimensiune a lui
se transferă la orice corp de bază, când Format:Math este considerat familia de Format:Ill-wd, iar puterea este cea mai mare putere exterioară, Format:Ill-wd Format:Ill-wd.
Genul geometric este primul invariant Format:Mvar1 al unui șir de invarianți Format:Mvar numiți inelul canonic.
Cazul curbelor
În cazul varietăților complexe, (locurile geometrice complexe ale) curbelor nesingulare sunt Format:Ill-wd. Definiția algebrică a genului este în acord cu noțiunea topologică. Pe o curbă nesingulară, fibratul de drepte canonic are gradul Format:Math.
Noțiunea de gen apare în special în enunțul Format:Ill-wd și a formulei Riemann–Hurwitz. După teorema Riemann-Roch, o curbă plană ireductibilă de gradul d are genul geometric
unde Format:Mvar este numărul singularităților.
Dacă Format:Mvar este o suprafață ireductibilă (și netedă) în Format:Ill-wd decupat de o ecuație polinomială de gradul Format:Mvar, atunci fibratul dreptelor sale normale este fibratul Serre Format:TmathFormat:Mvar, deci fibratul de drepte canonice al Format:Mvar este dat de
Genul varietăților singulare
Definiția genului geometric este transferată clasic la curbele singulare Format:Mvar, prin decretarea că
este genul geometric al normalizării Format:Mvar. Adică deoarece aplicația
este Format:Ill-wd, definiția este extinsă de invarianța birațională.
Note
- ↑ Format:En icon Danilov & Shokurov (1998), [[[:Format:Google books]] p. 53]