Gen aritmetic

În matematică genul aritmetic al unei Format:Ill-wd este una dintre puținele generalizări posibile ale genului unei Format:Ill-wd sau ale unei Format:Ill-wd.

Varietăți proiective

Fie Format:Mvar o schemă proiectivă de dimensiune Format:Mvar peste un corp Format:Mvar. Genul aritmetic $p_a$ al lui Format:Mvar este definit drept

$p_a(X)=(-1{)}^r(\chi ({𝒪}_X)-1).$

Aici $\chi ({𝒪}_X)$ este caracteristica Euler a fibratului cu structura ${𝒪}_X$.

Varietăți proiective complexe

Genul aritmetic al unei Format:Ill-wd de dimensiunea Format:Mvar poate fi definit ca o combinație de Format:Ill-wd, și anume:

$p_a=\sum _{j=0}^{n-1}(-1{)}^j{h}^{n-j,0}.$

Când Format:Mvar=1, formula devine $p_a=h^{1,0}$. În conformitate cu teorema Hodge aplicată varietăților proiective complexe, $h^{0,1}=h^{1,0}$. Prin urmare, $h^{0,1}=h^1(X)/2=g$, unde Format:Mvar este semnificația obișnuită (topologică) a genului unei suprafețe, deci definițiile sunt compatibile.

Când Format:Mvar este o varietate Kähler compactă, aplicând $h^{p,q}=h^{q,p}$ se obține definiția anterioară pentru varietățile proiective.

Varietăți Kähler

Folosind $h^{p,q}=h^{q,p}$ pentru varietăți compacte Kähler acest lucru poate fi reformulat ca fiind caracteristica Euler în Format:Ill-wd pentru Format:Ill-wd ${𝒪}_M$:

$p_a=(-1{)}^n(\chi ({𝒪}_M)-1).$

Prin urmare, această definiție poate fi aplicată altor spații inelare locale.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Citation

Lectură suplimentară

• Format:En icon Format:Cite book

Vezi și

• Gen (matematică)
• Gen geometric