Compus de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație

În geometrie compusul de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație este un compus poliedric uniform realizat dintr-un aranjament simetric de 20 de octaedre, considerate ca antiprisme.

Are indicele de compus uniform UC₁₃.

Construcție

Poate fi construit prin suprapunerea a două copii de Compus de zece octaedre (UC₁₆) și apoi rotirea octaedrelor componente în perechi cu un unghi egal (și opus, într-o pereche) θ.

Când θ = 0 sau θ = 60°, octaedrele coincid în perechi dând două copii suprapuse ale compușilor de zece octaedre UC₁₅ și respectiv UC₁₆. Pentru

$\theta =2\mathrm{arctg}\left(\sqrt{\frac{1}{3}(13-4\sqrt{10})}\right)\approx 37,76124^{\circ },$

octaedrele din axe de rotație diferite coincid în seturi de câte patru, dând compusul de cinci octaedre. Pentru

$\theta =2\mathrm{arctg}\left(\frac{-4\sqrt{3}-2\sqrt{15}+\sqrt{132+60\sqrt{5}}}{4+\sqrt{2}+2\sqrt{5}+\sqrt{10}}\right)\approx 14,33033^{\circ },$

vârfurile coincid în perechi, rezultând compusul de douăzeci de octaedre (UC₁₄, fără libertate de rotație).

Mărimi asociate

Coordonate carteziene

Coordonatele carteziene ale vârfurilor acestui compus sunt toate permutările ciclice ale

$\begin{array}{cc}& (\pm 2\sqrt{3}\sin \theta ,\pm ({\phi }^{-1}\sqrt{2}+2\phi \cos \theta ),\pm (\phi \sqrt{2}-2{\phi }^{-1}\cos \theta ))\\ & (\pm (\sqrt{2}-{\phi }^2\cos \theta +{\phi }^{-1}\sqrt{3}\sin \theta ),\pm (\sqrt{2}+(2\phi -1)\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta ),\pm (\sqrt{2}+{\phi }^{-2}\cos \theta -\phi \sqrt{3}\sin \theta ))\\ & (\pm ({\phi }^{-1}\sqrt{2}-\phi \cos \theta -\phi \sqrt{3}\sin \theta ),\pm (\phi \sqrt{2}+{\phi }^{-1}\cos \theta +{\phi }^{-1}\sqrt{3}\sin \theta ),\pm (3\cos \theta -\sqrt{3}\sin \theta ))\\ & (\pm (-{\phi }^{-1}\sqrt{2}+\phi \cos \theta -\phi \sqrt{3}\sin \theta ),\pm (\phi \sqrt{2}+{\phi }^{-1}\cos \theta -{\phi }^{-1}\sqrt{3}\sin \theta ),\pm (3\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta ))\\ & (\pm (-\sqrt{2}+{\phi }^2\cos \theta +{\phi }^{-1}\sqrt{3}\sin \theta ),\pm (\sqrt{2}+(2\phi -1)\cos \theta -\sqrt{3}\sin \theta ),\pm (\sqrt{2}+{\phi }^{-2}\cos \theta +\phi \sqrt{3}\sin \theta ))\end{array}$

unde φ = (1 + Format:Radic)/2 este secțiunea de aur.

Volum

Următoarea formulă pentru volum Format:Mvar este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) Format:Mvar:

$V=\frac{20\sqrt{2}}{3}{a}^3\approx 9,428090a^3.$

Imagini

• Compus de douăzeci de octaedre cu libertate de rotație
• 
  Compusul cu θ = 0°
• 
  Compusul cu θ = 5°
• 
  Compusul cu θ = 10°
• 
  Compusul cu θ = 15°
• 
  Compusul cu θ = 20°
• 
  Compusul cu θ = 25°
• 
  Compusul cu θ = 30°
• 
  Compusul cu θ = 35°
• 
  Compusul cu θ = 40°
• 
  Compusul cu θ = 45°
• 
  Compusul cu θ = 50°
• 
  Compusul cu θ = 55°
• 
  Compusul cu θ = 60°

Vezi și

• Lista compușilor poliedrici uniformi

Compuși de octaedre

• Compus de trei octaedre
• Compus de patru octaedre
• Compus de patru octaedre cu libertate de rotație
• Compus de cinci octaedre
• Compus de șase octaedre
• Compus de opt octaedre cu libertate de rotație
• Compus de zece octaedre
• Compus de douăzeci de octaedre

Legături externe

• Format:En icon Polyhedron Category C9: Octahedral Continuums Oddasi, Iddasi, Giddasi