Punct singular al unei curbe

În matematică un punct singular al unei curbe este un punct în care curba nu este dată de o Format:Ill-wd care poate conține un parametru. Definiția precisă a unui punct singular depinde de tipul de curbă studiată.

Curbe algebrice plane

Format:Ill-wd plane pot fi definite drept mulțimea de puncte (Format:Mvar) care satisfac o ecuație de forma $f(x,y)=0,$ unde Format:Mvar este o funcție polinomială $f:{ℝ}^2\to ℝ.$ Dacă Format:Mvar este explicitată ca

$f=a_0+b_{0}x+b_{1}y+c_0{x}^2+2c_{1}xy+c_2{y}^2+\cdots$

și originea Format:Math este pe curbă, atunci Format:Math. Dacă Format:Mvar₁ ≠ 0 atunci Format:Ill-wd garantează că există o funcție netedă Format:Mvar astfel încât curba să aibă forma Format:Math lângă origine. Similar, dacă Format:Mvar₀ ≠ 0 atunci există o funcție netedă Format:Mvar astfel încât curba să aibă forma Format:Math lângă origine. În ambele cazuri, există o funcție netedă de la $ℝ$ la planul în care se află curba în vecinătatea originii. De reținut că în origine

$b_0=\frac{\partial f}{\partial x},b_1=\frac{\partial f}{\partial y},$

deci curba este nesingulară sau regulată în origine dacă cel puțin una dintre derivatele parțiale ale lui Format:Mvar este diferită de zero. Punctele singulare sunt acele puncte de pe curbă în care ambele derivate parțiale se anulează:

$f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0.$

Puncte regulate

Se presupune că curba trece prin origine și $y=mx.$ Atunci Format:Mvar poate fi scrisă

$f=(b_0+m{b}_1)x+(c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2)x^2+\cdots .$

Dacă $b_0+m{b}_1$ nu este 0, atunci Format:Math are o soluție cu multiplicitatea 1 în Format:Math iar originea are un singur contact cu dreapta $y=mx.$ Dacă $b_0+m{b}_1=0$ atunci Format:Math are o soluție cu multiplicitatea 2 sau mai mare și dreapta $y=mx,$ sau $b_{0}x+b_{1}y=0,$ este tangentă la curbă. În acest caz, dacă $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2$ nu este 0 atunci curba are un punct de dublu contact cu $y=mx.$ Dacă coeficientul lui Format:Mvar², $c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2,$ este 0, dar coeficientul lui Format:Mvar³ nu este 0, atunci originea este un punct de inflexiune al curbei. Dacă coeficienții lui Format:Mvar² și Format:Mvar³ sunt ambii 0, atunci originea este un punct de ondulare al curbei. Această analiză poate fi aplicată oricărui punct al curbei prin translarea axelor de coordonate astfel încât originea să fie în punctul dat.

Puncte duble

Dacă în dezvoltarea de mai sus Format:Mvar₀ și Format:Mvar₁ sunt ambele Format:Math, dar cel puțin unul dintre Format:Mvar₀, Format:Mvar₁, Format:Mvar₂ nu este Format:Math, atunci originea este un punct dublu al curbei. Punând din nou $y=mx,$ Format:Mvar poate fi scrisă

$f=(c_0+2m{c}_1+c_2{m}^2)x^2+(d_0+3m{d}_1+3m^2{d}_2+d_3{m}^3)x^3+\cdots .$

Punctele duble pot fi clasificate în funcție de soluțiile ecuației $c_0+2m{c}_1+m^2{c}_2=0.$

Trei melci ai lui Pascal care ilustrează tipurile de puncte duble. Când este convertit în coordonate carteziene ca $(x^2+y^2-x{)}^2=(1,5{)}^2(x^2+y^2),$ curba din stânga capătă un punct punct singular în origine, care este un punct izolat în plan. Curba din centru, cardioidă, are un punct de întoarcere în origine. Curba din dreapta are un nod în origine și curba se autointersectează pentru a forma o buclă.

Noduri

Dacă $c_0+2m{c}_1+m^2{c}_2=0$ are două soluții reale pentru Format:Mvar, adică dacă $c_0{c}_2-c_1^2<0,$ atunci originea este un nod. În acest caz curba se autointersectează în origine și are două tangente distincte corespunzătoare celor două soluții ale $c_0+2m{c}_1+m^2{c}_2=0.$ În acest caz funcția Format:Mvar are un punct șa în origine.

Un exemplu de nod este dat de ecuația $x^2-y^2=0.$

Puncte izolate

Dacă $c_0+2m{c}_1+m^2{c}_2=0$ nu are soluții reale pentru Format:Mvar, adică dacă $c_0{c}_2-c_1^2>0,$ atunci originea este un punct izolat. În planul real originea este un punct izolat (deși este „pe curbă”); totuși, atunci când este luată în considerare o curbă complexă, originea nu este izolată și are două tangente imaginare, corespunzătoare celor două soluții complexe ale $c_0+2m{c}_1+m^2{c}_2=0.$ Funcția Format:Mvar are în acest caz un extrem local în origine.

Un exemplu de punct izolat al unei curbe este dat de ecuația $x^2+y^2=0.$

Puncte de întoarcere

Dacă $c_0+2m{c}_1+m^2{c}_2=0$ are o singură soluție cu multiplicitate 2 pentru Format:Mvar, adică dacă $c_0{c}_2-c_1^2=0,$ atunci originea este un punct de întoarcere. Curba în acest caz își schimbă direcția în origine creând un vârf ascuțit. Curba are o singură tangentă în origine care poate fi considerată drept două tangente care coincid.

Un exemplu de punct de întoarcere este dat de ecuația $x^3-y^2=0.$

Clasificare ulterioară

Termenul nod poate fi folosit și pentru a indica un punct izolat, cu alte cuvinte un punct dublu care nu este un punct de întoarcere. Numărul de noduri și numărul de puncte de întoarcere de pe o curbă sunt doi dintre invarianții utilizați în formulele Plücker.

Dacă una dintre soluțiile ecuației $c_0+2m{c}_1+m^2{c}_2=0$ este și o soluție a ecuației $d_0+3m{d}_1+3m^2{d}_2+m^3{d}_3=0,$ atunci ramura corespunzătoare a curbei are un punct de inflexiune în origine. În acest caz, originea este, după Hilton, un flecnod. Dacă ambele tangente au această proprietate, deci $c_0+2m{c}_1+m^2{c}_2$ este un factor al $d_0+3m{d}_1+3m^2{d}_2+m^3{d}_3,$ atunci originea este un biflecnod.

Puncte multiple

O curbă cu un punct triplu în origine:
$x(t)=\sin 2t+\cos t,$
$y(t)=\sin t+\cos 2t$

În general, dacă toți termenii de grad mai mici decât Format:Mvar sunt 0 și cel puțin un termen de grad Format:Mvar nu este 0 în Format:Mvar, atunci curba are un punct multiplu de ordinul Format:Mvar. Curba va avea, în general, Format:Mvar tangente în origine, deși unele dintre aceste tangente pot fi imaginare.

Curbe parametrice

O curbă parametrică în ${ℝ}^2$ este definită ca fiind o funcție $g:ℝ\to {ℝ}^2,$ $g(t)=(g_1(t),g_2(t)).$ Punctele singulare sunt acele puncte în care

$\frac{d{g}_1}{dt}=\frac{d{g}_2}{dt}=0.$

Un punct de întoarcere în parabola semicubică $y^2=x^3$

Multe curbe pot fi definite în orice mod, dar două definiții pot să nu fie identice. De exemplu, un punct de întoarcere poate fi definit pe o curbă algebrică, $x^3-y^2=0,$ sau pe o curbă parametrică, $g(t)=(t^2,t^3).$ Ambele definiții produc un punct singular în origine. Totuși, un nod precum cel al $y^2-x^3-x^2=0$ în origine este o singularitate a curbei, considerată curbă algebrică, dar în varianta parametrică $g(t)=(t^2-1,t(t^2-1)),$ $g^{\prime }(t)$ nu dispare niciodată. Prin urmare, nodul nu este o singularitate a curbei parametrice așa cum este definită mai sus.

Trebuie avut grijă atunci când se alege o parametrizare. De exemplu, dreapta Format:Math poate fi parametrizată prin $g(t)=(t^3,0)$ care are o singularitate la origine. Atunci când este parametrizată cu $g(t)=(t,0)$, este nesingulară. Prin urmare, este mai corect din punct de vedere tehnic să se considere punctele singulare ale unei funcții netede decât un punct singular al unei curbe.

Definițiile de mai sus pot fi extinse pentru a acoperi curbele implicite care sunt definite drept mulțimea zero $f^{-1}(0)$ a unei funcții netede, și nu este necesar să fie o Format:Ill-wd. Definițiile pot fi extinse pentru a acoperi curbele din dimensiuni mai mari.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book