Punct șa

Punctul în roșu al graficului funcției $(x,y)\mapsto x^2-y^2$ asociat unicului punct șa al său Format:Math.

În matematică, un punct șa (în Format:En) al unei funcții Format:Mvar definite pe un produs cartezian Format:Math a două mulțimi Format:Mvar și Format:Mvar este un punct $(\overline{x},\overline{y})\in X\times Y$ în așa fel încât:

• $y\mapsto f(\overline{x},y)$ atinge un maxim în $\overline{y}$ pe Format:Mvar;
• iar $x\mapsto f(x,\overline{y})$ atinge un minim în $\overline{x}$ pe Format:Mvar.

Unii autori inversează maximele și minimele ($f(\overline{x},\cdot )$ cu un minim în $\overline{y}$ și $f(\cdot ,\overline{y})$ cu un maxim în $\overline{x}$), dar aceasta nu schimbă cantitativ rezultatele (se poate reveni la cazul prezent prin schimbare de variabile).

Termenul punct șa se referă la forma de șa de cal pe care o ia graficul funcției când Format:Mvar și Format:Mvar sunt intervale din $ℝ$. În terminologia din limba franceză se utilizează denumirea de punct trecătoare, cu referire la imaginea unei trecători din munte.

Într-o dimensiune, un punct șa este un punct de inflexiune care este și punct staționar.

Mai general, un punct șa pentru o funcție este un punct staționar în vecinătatea căreia curba nu se află doar pe o parte a hiperplanului tangent.

Noțiunea de punct șa intervine:

• în optimizare, concept care permite enunțarea unor condiții care asigură existența unei soluții primare duale;
• în teoria jocurilor, puncte șa în matricile de câștig;
• pentru determinarea unor soluții particulare ale unor ecuații care nu sunt de minim sau maxim.

Definiție

Iată o definiție destul de generală a noțiunii de punct șa a unei funcții definite pe un produs cartezian de mulțimi. Nicio structură nu este cerută pe aceste mulțimi. Funcția trebuie din contra să-și ia valorile în mulțimea numerelor reale $ℝ$ (sau mai general în dreapta reală încheiată $\overline{ℝ}$).

Teoremă
Punct șa
Fie Format:Mvar și Format:Mvar două mulțimi și $f:X\times Y\to \overline{ℝ}$ o funcție care poate lua valorile $\pm \mathrm{\infty }$. Se spune că $(\overline{x},\overline{y})\in X\times Y$ este un punct-șa al Format:Mvar pe Format:Math dacă

$\mathrm{\forall }(x,y)\in X\times Y:f(\overline{x},y)⩽f(\overline{x},\overline{y})⩽f(x,\overline{y}).$

În condițiile de mai sus, $f(\overline{x},\overline{y})$ este numită valoarea șa a Format:Mvar.

Altfel spus, $y\mapsto f(\overline{x},y)$ atinge un maximum în $\overline{y}$ pe Format:Mvar și $x\mapsto f(x,\overline{y})$ atinge un minimum în $\overline{x}$ pe Format:Mvar. Nimic nu este cerut în afara crucii $(\{\overline{x}\}\times Y)\cup (X\times \{\overline{y}\})$, astfel încât imaginea șeii să poată fi înșelătoare ca atunci când $f:{ℝ}^2\to ℝ$ este definită de Format:Math (toate punctele de pe axele de ordonate sunt puncte șa).

Referințe și note

• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation
• Format:En icon Format:Citation

Bibliografie

• Format:Fr icon H. Brézis (1973), Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert. Mathematics Studies 5. North-Holland, Amsterdam. Format:ISBN.
• Format:En icon M. Sion (1958), « On general minimax theorems », Pacific Journal of Mathematics 8, 171-176.

Legături externe

• Format:Commons category-inline