Normală

Un poligon și doi vectori normali pe el

Normala la o suprafață într-un punct este aceeași cu normala la planul tangent la suprafață în același punct

În geometrie o normală este un obiect, cum ar fi o dreaptă, o rază sau un vector, care este perpendicular pe un obiect dat. De exemplu, dreapta normală la o curbă plană într-un punct dat este dreapta (infinită) perpendiculară pe tangenta la curbă în acest punct.Un vector normal poate avea lungimea 1 (un versor) sau lungimea sa poate reprezenta curbura obiectului (un vector de curbură); semnul algebric al acestuia poate indica pe care parte (interior sau exterior) este.

În spațiul tridimensional o normală la suprafață sau, simplu, normală la o suprafață în punctul Format:Mvar este un vector perpendicular pe planul tangent la suprafață în Format:Mvar. Cuvântul „normal” este folosit și ca adjectiv: o dreaptă normală la un plan, componenta normală a unei forțe, vectorul normal etc. Noțiunea de normalitate se generalizează la ortogonalitate (unghiuri drepte).

Noțiunea a fost generalizată la Format:Ill-wd de dimensiune arbitrară încorporate într-un spațiu euclidian. Spațiul vectorial normal sau spațiul normal al unei varietăți în punctul Format:Mvar este mulțimea de vectori care sunt ortogonali cu Format:Ill-wd în Format:Mvar. Vectorii normali prezintă un interes deosebit în cazul curbelor și suprafețelor netede.

Distanța normală a unui punct Format:Mvar la o curbă sau la o suprafață este distanța euclidiană dintre Format:Mvar și proiecția sa perpendiculară pe obiect (în punctul Format:Mvar de pe obiect a cărui normală conține Format:Mvar).

Normala la suprafețe în spațiul tridimensional

O suprafață curbată cu vectorii normali (săgețile albastre) la suprafață

Calculul normalei la o suprafață

Pentru un poligon convex (cum ar fi un triunghi), o normală a suprafeței poate fi calculată ca vectorul produs vectorial al două laturi (neparalele) ale poligonului.

La un plan dat de ecuația $ax+by+cz+d=0,$ vectorul $𝐧=(a,b,c)$ este normal.

Pentru un plan a cărui ecuație este dată în formă parametrică:

$𝐫(s,t)={𝐫}_0+s𝐩+t𝐪,$

unde ${𝐫}_0$ este un punct din plan, iar $𝐩,𝐪$ sunt vectori neparaleli îndreptați de-a lungul planului, o normală la plan este un vector normal pe ambii $𝐩$ și $𝐪,$ care poate fi calculat prin produsul vectorial $𝐧=𝐩\times 𝐪.$

Dacă o suprafață (nu neapărat plană) $S$ în spațiul tridimensional ${ℝ}^3$ este parametrizată de un sistem de coordonate curbilinii $𝐫(s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),$ cu $s$ și $t$ variabile reale, atunci o normală la Format:Mvar este prin definiție o normală la un plan tangent, dată de produsul vectorial al derivatelor parțiale

$𝐧=\frac{\partial 𝐫}{\partial s}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial t}.$

Dacă suprafața $S$ este dată sub formă Format:Ill-wd ca un set de puncte $(x,y,z)$ care satisfac $F(x,y,z)=0,$ atunci o normală într-un punct $(x,y,z)$ de pe suprafață este dată de gradientul

$𝐧=\mathrm{\nabla }F(x,y,z)$

deoarece gradientul este perpendicular în orice punct al setului $S$.

Pentru suprafața $S$ din ${ℝ}^3$ care este graficul funcției $z=f(x,y),$ o normală orientată în sus poate fi găsită fie din parametrizarea $𝐫(x,y)=(x,y,f(x,y)),$ dând

$𝐧=\frac{\partial 𝐫}{\partial x}\times \frac{\partial 𝐫}{\partial y}=(1,0,\frac{\partial f}{\partial x})\times (0,1,\frac{\partial f}{\partial y})=(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1);$

sau mai simplu din forma sa implicită $F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,$ rezultând

$𝐧=\mathrm{\nabla }F(x,y,z)=(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1).$

Deoarece o suprafață nu are un plan tangent într-un punct singular (de exemplu, vârful unui con), nu are o normală bine definită în acel punct. În general, la o suprafață care este Lipschitz continuă este posibil să se definească o normală Format:Ill-wd.

Alegerea normalei

Câmp de vectori normali la o suprafață

Normala unei (hiper)suprafețe este de obicei scalată pentru a avea lungimea unitate, dar nu are o direcție unică, deoarece opusa sa este și ea o normală unitate. Pentru o suprafață care este frontiera unei mulțimi tridimensionale se poate distinge între normala orientată spre interior și normala orientată spre exterior. Pentru o suprafață orientată, normala este de obicei determinată de regula mâinii drepte sau de analoaga sa în dimensiuni superioare.

Hipersuprafețe în spațiul n-dimensional

La un hiperplan (n−1)-dimensional dintr-un spațiu n-dimensional ${ℝ}^n$ dat de reprezentarea sa parametrică

$𝐫(t_1,\dots ,t_{n-1})={𝐩}_0+t_1{𝐩}_1+\cdots +t_{n-1}{𝐩}_{n-1},$

unde ${𝐩}_0$ un punct pe hiperplan, iar ${𝐩}_i$ pentru $i=1,\dots ,n-1$ sunt vectori liniar independenți de-a lungul hiperplanului, o normală la hiperplan este orice vector $𝐧$ din nucleul matricei $P=\left[\begin{array}{ccc}{𝐩}_1& \cdots & {𝐩}_{n-1}\end{array}\right],$ unde $P𝐧=\mathrm{𝟎}.$ Adică, orice vector ortogonal cu toți vectorii din plan este prin definiție o normală a suprafeței. Alternativ, dacă hiperplanul este definit ca setul de soluții al unei singure ecuații liniare $a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=c,$ atunci vectorul $𝕟=(a_1,\dots ,a_n)$ este o normală.

Definiția unei normale la o suprafață din spațiul tridimensional poate fi extinsă la hipersuprafețele (Format:Mvar−1)-dimensionale din ${ℝ}^n.$ O hipersuprafață poate fi definită local implicit ca mulțimea punctelor $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ care satisfac o ecuație $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0,$ unde $F$ este o funcție scalară. Dacă $F$ este diferențiabilă continuu, atunci hipersuprafața este o varietate diferențiabilă în vecinătatea punctelor în care gradientul nu este zero. În aceste puncte un vector normal este dat de gradient:

$𝕟=\mathrm{\nabla }F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=(\frac{\partial F}{\partial x_1},\frac{\partial F}{\partial x_2},\dots ,\frac{\partial F}{\partial x_n}).$

Dreapta normală este un subspațiu unidimensional cu baza $\{𝐧\}.$

Legături externe

• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon An explanation of normal vectors from Microsoft's MSDN
• Format:En icon Clear pseudocode for calculating a surface normal Format:Webarchive from either a triangle or polygon.