Octaedru trunchiat

Dual: Hexaedru tetrakis

În geometrie octaedrul trunchiat este un poliedru arhimedic. Se obține dintr-un octaedru regulat prin îndepărtarea a șase piramide, câte una la fiecare vârf al octaedrului. Are 14 fețe regulate (6 pătrat și 8 fețe hexagonale), 36 de laturi și 24 de vârfuri. Deoarece fiecare dintre fețele sale are simetrie față de centru, octaedrul trunchiat este un zonoedru. La fel cu cubul, poate tesela spațiul tridimensional, ca un permutoedru.

Poliedrul său dual este hexaedrul tetrakis. Dacă octaedrul trunchiat inițial are lungimea laturii 1, dualul său are lungimile laturilor Format:SfracFormat:Sqrt și Format:SfracFormat:Sqrt.

Are indicele de poliedru uniform U₀₈, indicele Coxeter C₂₀ și indicele Wenninger W₇.

Construcție, arie și volum

Un octaedru trunchiat este construit dintr-un octaedru regulat cu lungimea laturii 3a prin îndepărtarea a șase piramide pătrate drepte, câte una din fiecare vârf. Aceste piramide au atât lungimea laturii de bază (a) cât și lungimea laturii laterale (e) egală cu a, pentru a forma triunghiuri echilaterale. Aria bazei acestora este a². De observat că această formă este asemenea cu o jumătate de octaedru sau cu poliedrul Johnson J1.

Din proprietățile piramidelor pătrate se obțin apotema s și înălțimea h ale unei piramide îndepărtate:

$\begin{array}{cccc}h& =\sqrt{e^2-\frac{1}{2}{a}^2}& & =\frac{1}{\sqrt{2}}a\\ s& =\sqrt{h^2+\frac{1}{4}{a}^2}& & =\sqrt{\frac{1}{2}{a}^2+\frac{1}{4}{a}^2}& & =\frac{\sqrt{3}}{2}a\end{array}$

Volumul V₁ al piramidei îndepărtate este

$V_1=\frac{1}{3}{a}^{2}h=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^3$

Deoarece șase piramide sunt îndepărtate prin trunchiere, volumul octaedrului trunchiat este mai mic decât al octaedrului inițial cu Format:Sqrta³.

Aria A și volumul V ale octaedrului trunchiat cu latura de lungime a sunt:

$\begin{array}{cccc}A& =(6+12\sqrt{3})a^2& & \approx 26,7846097a^2\\ V& =8\sqrt{2}{a}^3& & \approx 11,3137085a^3.\end{array}$

Proiecții ortogonale

Octaedrul trunchiat are cinci proiecții ortogonale speciale, centrate pe un vârf, pe două tipuri de muchii și două tipuri de fețe: hexagon și pătrat. Ultimele două corespund planelor Coxeter B₂ și A₂.

Proiecții ortogonale

Centrată pe	Vârf	Latură 4-6	Latură 6-6	Față pătrată	Față hexagonală
Poliedru
Cadru de sârmă
Dual
Simetrie proiectivă	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]

Pavare sferică

	centrată pe pătrat	centrată pe hexagon
Proiecție ortogonală	Proiecții stereografice

Octaedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o pavare sferică și proiectat în plan printr-o proiecție stereografică. Această proiecție este conformă, păstrând unghiurile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca arce de cerc.

Coordonate

Proiecție ortogonală în cadrul (±2, ±2, ±2)	Octaedru trunchiat cu hexagoanele divizate în 6 triunghiuri coplanare. Există 8 noduri noi la (±1, ±1, ±1).	Octaedru trunchiat subdivizat topologic în triacontaedru rombic

Toate permutările lui (0, ±1, ±2) sunt coordonatele carteziene ale vârfurilor unui octaedru trunchiat cu lungimea laturii $a=\sqrt{2}$ centrat în origine. Vârfurile sunt astfel și colțurile a 12 dreptunghiuri ale căror laturi lungi sunt paralele cu axele de coordonate.

Vectorii laturilor au coordonatele carteziene Format:Nowrap și permutări ale acestora. Normalele fețelor (produsele vectoriale normalizate ale laturilor care au un vârf comun) ale celor 6 fețe pătrate sunt Format:Nowrap, Format:Nowrap și Format:Nowrap. Normalele celor 8 fețe hexagonale sunt Format:Nowrap. Produsul scalar al normalelor unei perechi de fețe este cosinusul unghiului diedru dintre fețele adiacente, fie −Format:Sfrac, fie −Format:Sfrac. Unghiul diedru este aproximativ 1,910633 radiani (109,471°) între fețele hexagonale și 2,186276 radiani (125,263°) între o față hexagonală și una pătrată.

Divizare

Gen 2	Gen 3
D3d, [2+,6], (2*3), ordin 12	Td, [3,3], (*332), ordin 24

Octaedrul trunchiat poate fi divizat într-un octaedru central, înconjurat de 8 cupole triunghiulare pe fiecare față și 6 piramide pătrate deasupra vârfurilor.

Înlăturând octaedrul central și 2 sau 4 cupole triunghiulare creează doi toroizi Stewart, cu simetrie diedrală și tetraedrică: Format:-

Permutoedru

Octaedrul trunchiat poate fi reprezentat și prin coordonate și mai simetrice în patru dimensiuni: toate permutările lui (1, 2, 3, 4) formează vârfurile unui octaedru trunchiat în subspațiul tridimensional Format:Nowrap. Prin urmare, octaedrul trunchiat este permutoedrul de ordinul 4: fiecare vârf corespunde unei permutări a lui (1, 2, 3, 4) și fiecare latură reprezintă o singură interschimbare a două elemente dintr-o pereche.

Colorare ca poliedru uniform

Există două colorări uniforme, cu simetrie tetraedrică și simetrie octaedrică, și două colorări uniforme cu simetrie diedrală ca antiprismă triunghiulară trunchiată. Notația Conway a poliedrelor este dată în paranteze.

uniformă 1		uniformă 2
Oh, [4,3], (*432) ordin 48	Td, [3,3], (*332) ordin 24	D4h, [4,2], (*422) ordin 16	D3d, [2+,6], (2*3) ordin 12
colorare 122	colorare 123	colorare 122 și 322	colorare 122 și 123
Octaedru trunchiat (tO)	Tetraedru teșit (bT)	Bipiramidă pătrată trunchiată (tdP4)	Antiprismă triunghiulară trunchiată (tA3)

Poliedre înrudite

Octaedrul trunchiat face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat. Format:Trunchieri octaedrice

De asemenea, există și ca omnitrunchiat în familia tetraedrelor: Format:Tabel omnitrunchiate Format:Trunchieri tetraedrice

Variante de simetrie

Acest poliedru face parte dintr-o secvență de modele uniforme cu configurația vârfului (4.6.2p) și diagrama Coxeter–Dynkin Format:CDD. Pentru p < 6, membrii secvenței sunt poliedre omnitrunchiate (zonoedre), prezentate mai jos ca pavări sferice. Pentru p > 6, acestea sunt pavări ale planului hiperbolic, începând cu pavare triheptagonală trunchiată. Format:Tabel omnitrunchiate simetrice

Octaedrul trunchiat este înrudit din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări uniforme cu figurile vârfului n.6.6, extinzându-se în planul hiperbolic: Format:Tabel figuri2 trunchiate

Octaedrul trunchiat este înrudit din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre și pavări uniforme cu figurile vârfurilor 4,2n.2n, extinzându-se în planul hiperbolic: Format:Tabel figuri3 trunchiate

Politopuri înrudite

Octaedrul trunchiat (cubul bitrunchiat), este primul dintr-o succesiune de hipercuburi trunchiate: Format:Hipercuburi bitrunchiate

Este posibil să se secționeze un tesseract cu un hiperplan, astfel încât secțiunea transversală a acestuia să fie un octaedru trunchiat.

Teselări

Octaedrul trunchiat există în trei faguri uniformi convecși:

Cubic bitrunchiat	Cubic cantitrunchiat	Cubic alternat trunchiat

Fagurele cubic bitrunchiat tranzitiv pe celule poate fi considerat o Format:Ill-wd a rețelei cubice centrate intern. Octaedrul trunchiat este unul dintre cele cinci paraleloedre.

Bibliografie

• Format:En icon Robert Williams (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications Inc., Format:ISBN. (Section 3-9)
• Format:En icon Format:Cite web
• Format:En icon Format:Cite journal
• Format:En icon Format:Cite web
• Format:En icon Format:Cite web
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book

Vezi și

• Lista poliedrelor uniforme

Legături externe

• Format:Commonscat-inline
• Format:En icon Format:Mathworld
• Format:En icon Format:Mathworld
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Editable printable net of a truncated octahedron with interactive 3D view

• Format:En icon Format:KlitzingPolytopes Cheie: toe