Complementară

Format:Imagine dublă În teoria mulțimilor complementara sau complementul unei mulțimi Format:Math, adesea notată cu $A^c$ (sau $A^{\prime }$), este mulțimea ale cărei elemente nu sunt în Format:Math.

Când toate mulțimile luate în considerare sunt considerate submulțimi ale unei mulțimi date Format:Math, complementara absolută a lui Format:Math este mulțimea elementelor din Format:Math, dar nu din Format:Math.

Complementara relativă a lui Format:Math față de mulțimea Format:Math, numită și diferența dintre mulțimile Format:Math și Format:Math, notată Format:Math, este mulțimea elementelor din Format:Math, dar nu și din Format:Math.

Complementara absolută

Complementara absolută al Format:Mvar (cercul din stânga) în Format:Mvar: $A^c=U\setminus A$.

Definiție

Dacă Format:Math este o mulțime, atunci complementara absolută a lui Format:Math (sau, simplu, complementara lui Format:Math) este mulțimea elementelor dintr-o mulțime mai mare, elemente care nu se află în Format:Math. Cu alte cuvinte, fie Format:Math o mulțime care conține toate elementele în discuție; dacă nu este necesar ca Format:Math să fie menționată, fie pentru că a fost specificată anterior, fie pentru că este evidentă și unică, atunci complementara absolută a lui Format:Math este complementara relativă a lui Format:Math în Format:Math (mulțimea în care se consideră complementara este menționată implicit într-o complementară absolută și explicit într-o complementară relativă):

$A^c=U\setminus A$.

Sau formal:

$A^c=\{x\in U\mid x\notin A\}.$

Complementara absolută a Format:Math este de obicei notată cu $A^c$. Alte notații sunt $\bar{A}$, $A^{\prime }$, ${\complement }_{U}A$ și $\complement A$.

Exemple

• Să presupunem că universul este mulțimea numerelor întregi. Dacă Format:Math este mulțimea numerelor impare, atunci complementara lui Format:Math este mulțimea numerelor pare. Dacă Format:Math este mulțimea multiplilor de 3, atunci complementara lui Format:Math este mulțimea numerelor congruente cu 1 sau 2 modulo 3 (sau, în termeni mai simpli, numerele întregi care nu sunt multipli de 3).

• Să presupunem că universul este Format:Ill-wd. Dacă mulțimea Format:Math cuprinde suita din culoarea de pică, atunci complementul lui Format:Math este reuniunea suitelor de treflă, caro și cupă. Dacă mulțimea Format:Math este reuniunea suitelor de treflă și caro, atunci complementul lui Format:Math este reuniunea suitelor de cupă și pică.

Proprietăți

Fie Format:Math și Format:Math două mulțimi din universul Format:Math. Următoarele identități prezintă proprietăți importante ale complementelor absolute:

Relațiile de Morgan: (formulate de Augustus De Morgan)

• ${(A\cup B)}^c=A^c\cap B^c.$
• ${(A\cap B)}^c=A^c\cup B^c.$

Relațiile complementarelor:

• $A\cup A^c=U.$
• $A\cap A^c=\varnothing .$
• ${\varnothing }^c=U.$
• $U^c=\varnothing .$
• $\text{dacă }A\subseteq B\text{, atunci }{B}^c\subseteq A^c.$

  (acest lucru rezultă din echivalența unui condițional cu contrapoziția sa)

Relația de involuție (complementară dublă):

• ${\left(A^c\right)}^c=A.$

Relațiile dintre complementara relativă și cea absolută:

• $A\setminus B=A\cap B^c.$
• $(A\setminus B{)}^c=A^c\cup B.$

Relația cu diferența mulțimilor:

• $A^c\setminus B^c=B\setminus A.$

Primele două relații de mai sus ale complementarei arată că dacă Format:Math nu este o mulțime vidă a unei submulțimi a lui Format:Math, atunci Format:Math este o partiție a lui Format:Math.

Complementara relativă

Complementara relativă a Format:Math (cercul din stânga) în Format:Math (cercul din dreapta): $B\cap A^c=B\setminus A$

Definiție

Dacă Format:Math și Format:Math sunt mulțimi, atunci complementara relativă a lui Format:Math în Format:Math, numit și diferența mulțimilor Format:Math și Format:Math, este mulțimea elementelor din Format:Math dar nu din Format:Math.

Începând din 1992, complementara relativă a Format:Math în Format:Math, se notează Format:Nowrap. Uneori este notată Format:Nowrap, dar această notație este perimată, fiind ambiguă; în anumite contexte poate fi interpretată ca mulțimea tuturor elementelor Format:Nowrap, unde Format:Math este din Format:Math iar Format:Math din Format:Math.

Formal:

$B\setminus A=\{x\in B\mid x\notin A\}.$

Exemple

• $\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}$.
• $\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}$.
• Dacă $ℝ$ este mulțmea numerelor reale și $\mathbb{Q}$ este mulțimea numerelor raționale, atunci $ℝ\setminus \mathbb{Q}$ este mulțimea numerelor iraționale.

Proprietăți

Fie Format:Math, Format:Math și Format:Math trei mulțimi. Următoarele identități prezintă propertățile importante referitoare la complementare:

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$.
• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$.
• $C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)$,

cu importantul caz particular $C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)$ demonstrând că intersecția poate fi exprimată folosind doar noțiunea de complementară relativă.

• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$.
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$.
• $A\setminus A=\mathrm{\varnothing }$.
• $\mathrm{\varnothing }\setminus A=\mathrm{\varnothing }$.
• $A\setminus \mathrm{\varnothing }=A$.
• $A\setminus U=\mathrm{\varnothing }$.

Relația complementară

O relație binară R este definită ca o submulțime a unui produs al mulțimilor X × Y. Relația complementară $\overline{R}$ este complementara mulțimii R în X × Y Complementara relației R poate fi scrisă

$\overline{R}=(X\times Y)\setminus R.$

Aici, R este adesea privită ca o matrice logică având pe rânduri elementele lui X și pe coloane elementele lui Y. „Adevăratul” lui aRb corespunde cu 1 în rândul a, coloana b. Obținrea relației complementare cu R corespunde atunci comutării tuturor „1” în „0” și a tuturor „0” în „1” pentru matricea logică a complementarei.

Împreună cu compunerea relațiilor și a relațiilor inverse, relațiile complementare și algebra mulțimilor sunt operațiile elementare ale Format:Ill-wd.

Notații LaTeX

În limbajul LaTeX, pentru redarea unui simbol diferență de mulțime, care este similar cu un simbol backslash ( \ ) se folosește de obicei comanda \setminus. La afișare, comanda \setminus arată identic cu \backslash, cu excepția că spațiile dinainte și de după sunt puțin mai mari, asemănătoare cu secvența LaTeX \mathbin{\backslash}. Varianta \smallsetminus este disponibilă în pachetul amssymb.

În limbaje de programare

Unele limbaje de programare au încorporate operații cu mulțimi în structurile lor de date. O astfel de structură de date se comportă ca o mulțime finită, adică este alcătuită dintr-un număr finit de date care nu sunt ordonate în mod specific și pot fi astfel considerate ca elementele unei mulțimi. În unele cazuri elementele nu sunt necesare distincte. Aceste limbaje de programare au operații sau funcții pentru calcularea complementarei și a diferenței mulțimilor.

Acești operatori pot fi în general aplicați și structurilor de date care nu sunt mulțimi matematice adevărate, cum ar fi Format:Ill-wd ordonate sau Format:Ill-wd. Rezultă că unele limbaje de programare pot avea o funcție numită set_difference (Format:Ro), chiar dacă nu au nicio structură de date pentru mulțimi.

Bibliografie

• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:En icon Format:Cite book
• Format:Ro icon Format:Cite book

Vezi și

• Intersecție (matematică)
• Reuniune (matematică)

Legături externe

• Format:En icon Complement, (Format:Ro) la MathWorld
• Format:En icon Complement Set, (Format:Ro) la MathWorld