Inversarea matricilor

Format:Problemearticol În algebra liniară, o matrice pătrată Format:Math n × n se numește inversabilă (sau nesingulară sau nedegenerată), dacă exisă o matrice pătrată Format:Math n × n astfel încât

$𝐀𝐁=𝐁𝐀={𝐈}_n$

unde Format:Math este matricea unitate n × n, iar înmulțirea se face după regula obișnuită a înmulțirii matricilor. În acest caz matricea Format:Math este determinată în mod unic de Format:Math, și este numită inversa lui Format:Math, notată Format:Math. Inversarea unei matrice este procesul de calcul al matricei Format:Math.

Definiție

Matricea $𝐀$ de $n\times n$ se numește inversabilă dacă și numai dacă aceasta este nesingulară și există o altă matrice ${𝐀}^{-1}$ de $n\times n$ astfel încât produsul lor să fie matricea unitate (${𝐈}_n$), mai exact

$${𝐀}^{-1}𝐀=𝐀{𝐀}^{-1}={𝐈}_n$$

O matrice pătrată $𝐀$ este nesingulară respectiv singulară dacă determinantul matricei $𝐀$ este nenul Format:Nowrap respectiv nul Format:Nowrap.

Calculul inversei unei matrice

Inversa unei matrice 2 × 2

Inversa unei matrice $2\times 2$ se calculează în felul următor:

${𝐀}^{-1}={\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{\det 𝐀}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

Unde $\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$se mai notează cu $A^{*}$.

Metoda Cayley-Hamilton dă următoarea formula:

${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det 𝐀}[(\mathrm{tr}𝐀)𝐈-𝐀]$

unde $\mathrm{tr}𝐀$ este suma elementelor de pe diagonala principală din $\mathrm{tr}𝐀$, numită urma unei matrice (din Format:En)

Inversa unei matrice 3 × 3

Modul de calcul a inversei unei matrice $3\times 3$ este asemănător cu cel anterior de $2\times 2$, întrucât:

${𝐀}^{-1}={\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}{\left[\begin{array}{ccc}A& B& C\\ D& E& F\\ G& H& I\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\frac{1}{\det (𝐀)}\left[\begin{array}{ccc}A& D& G\\ B& E& H\\ C& F& I\end{array}\right]$

(A nu se confunda scalarul $A$ cu matricea $𝐀$)

Unde elementele din cea de-a doua matrice (din nou des notată cu $A^{*}$) sunt calculate în felul următor: $$\begin{array}{ccccccccccc}A& =& (ei-fh),& & D& =& -(bi-ch),& & G& =& (bf-ce),\\ B& =& -(di-fg),& & E& =& (ai-cg),& & H& =& -(af-cd),\\ C& =& (dh-eg),& & F& =& -(ah-bg),& & I& =& (ae-bd).\\ \end{array}$$

Se observă că scalarul $A$ este determinantul matricei formate prin îndepărtarea din matricea $𝐀$ a coloanei și a rândului ce îl conțineau pe $a$, împreună cu semnul său (elementele de pe diagonale având semnul „+”, iar celelalte „−”).

Relația Cayley-Hamilton aferentă matricilor de $3\times 3$ este următoarea: ${𝐀}^{-1}=\frac{1}{\det (𝐀)}(\frac{1}{2}[(\mathrm{tr}𝐀{)}^2-\mathrm{tr}{𝐀}^2]𝐈-𝐀\mathrm{tr}𝐀+{𝐀}^2)$

Legături externe

• Matrice inversabile - teorie
• Matrice inversabile - exemplu de calcul