Matrice idempotentă

În algebra liniară, o matrice idempotentă este o matrice care, atunci când este înmulțită cu ea însăși, rezultatul este tot ea însăși. Adică, matricea $A$ este idempotentă dacă și numai dacă $A^2=A$. Pentru ca acest produs $A^2$ să fie definit, $A$ trebuie să fie neapărat o matrice pătrată. Privite astfel, matricile idempotente sunt Format:Ill-wd ale Format:Ill-wd.

Exemple

Exemple de matrici Format:Math idempotente:

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& -6\\ 1& -2\end{array}\right]$

Exemple de matrici Format:Math idempotente:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& -2& -4\\ -1& 3& 4\\ 1& -2& -3\end{array}\right]$

Cazul 2 × 2 la numere reale

Dacă matricea $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ este idempotentă, atunci

• $a=a^2+bc,$
• $b=ab+bd,$ care implică $b(1-a-d)=0$ deci $b=0$ sau $d=1-a,$
• $c=ca+cd,$ care implică $c(1-a-d)=0$ deci $c=0$ sau $d=1-a,$
• $d=bc+d^2.$

Astfel, o condiție necesară ca o matrice $2\times 2$ să fie idempotentă este să fie fie una diagonală, fie ca urma sa să fie egală cu 1. Pentru matricele diagonale idempotente, $a$ și $d$ trebuie să fie fie 1, fie 0.

Dacă $b=c$, matricea $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& 1-a\end{array}\right)$ va fi idempotentă cu condiția $a^2+b^2=a,$ deci a satisface ecuația de gradul al doilea

$a^2-a+b^2=0,$ sau ${(a-\frac{1}{2})}^2+b^2=\frac{1}{4}$

care este un cerc cu centrul (1/2, 0) și raza 1/2. Cu variabila Format:Mvar,

$A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1-\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & 1+\cos \theta \end{array}\right)$

este idempotentă. Însă $b=c$ nu este o condiție necesară: orice matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 1-a\end{array}\right)$ cu $a^2+bc=a$ este idempotentă.

Proprietăți

Singularitate și regularitate

Singura matrice idempotentă care nu este inversabilă este matricea unitate; adică, dacă o matrice care nu este una unitate este idempotentă, numărul său de linii (sau coloane) independente este mai mic decât numărul său de linii (sau coloane).

Asta se poate arăta scriind $A^2=A$, presupunând că Format:Mvar nu este singulară, înmulțind-o cu $A^{-1}$ se obține $A=IA=A^{-1}{A}^2=A^{-1}A=I$.

Când o matrice idempotentă este scăzută din matricea unitate, rezultatul este și el idempotent. Acest lucru este valabil deoarece

$(I-A)(I-A)=I-A-A+A^2=I-A-A+A=I-A.$

Dacă matricea Format:Mvar este idempotentă, atunci pentru orice număr întreg pozitiv Format:Mvar, $A^n=A$. Acest lucru poate fi demonstrat folosind demonstrarea prin inducție. Pentru $n=1$, $A^1=A$. Presupunând că $A^{k-1}=A$, atunci $A^k=A^{k-1}A=AA=A$, deoarece Format:Mvar este idempotentă. Prin inducție, rezultatul este demonstrat.

Valorile proprii

O matrice idempotentă este întotdeauna Format:Ill-wd. Valorile sale proprii sunt sau 0, sau 1: dacă $𝐱$ este un vector propriu nenul a unei matrice idempotente $A$ iar $\lambda$ este valoarea sa proprie asociată, atunci $\lambda 𝐱=A𝐱=A^2𝐱=A\lambda 𝐱=\lambda A𝐱={\lambda }^2𝐱,$ ceea ce implică $\lambda \in \{0,1\}.$ Asta implică faptul că determinantul unei matrice idempotente este întotdeauna 0 sau 1. După cum s-a menționat mai sus, dacă determinantul este egal cu unu, matricea este inversabilă și, prin urmare, este matricea unitate.

Urma

Urma unei matrice idempotente — suma elementelor de pe diagonala sa principală — este egală cu rangul matricei, prin urmare este întotdeauna un număr întreg. Aceasta oferă o modalitate simplă de a calcula rangul, respectiv urma, unei matrice ale cărei elemente nu sunt specificate (ceea ce este util în statistică, de exemplu, în stabilirea Format:Ill-wd unui eșantion variant ca estimare a varianței întregii populații).

Relații între matrici idempotente

În analiza de regresie se știe că matricea $M=I-X(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }$ produce reziduurile $e$ din regresia vectorului variabilelor dependente $y$ din matricea covariatelor $X$. (v. secțiunea „Aplicații”.) Acum, fie $X_1$ o matrice formată dintr-un subset de coloane ale lui $X$ și fie $M_1=I-X_1({X_1}^{\prime }{X}_1{)}^{-1}{X_1}^{\prime }$. Este ușor de demonstrat că atât $M$ cât și $M_1$ sunt idempotente, dar un fapt oarecum surprinzător este că $M{M}_1=M$. Acest lucru se datorează faptului că $M{X}_1=0$, sau cu alte cuvinte, reziduurile din regresia coloanelor lui $X_1$ din $X$ sunt 0 deoarece $X_1$ poate fi interpolat perfect, deoarece este un subset al lui $X$ (este simplu să se arate că $MX=0$ prin substituție directă). Aceasta duce la alte două rezultate importante: unul este că $(M_1-M)$ este simetric și idempotent, iar celălalt este că $(M_1-M)M=0$, adică $(M_1-M)$ este ortogonal cu $M$. Aceste rezultate joacă un rol cheie, de exemplu, în obținerea testului F.

Orice matrice asemenea cu una idempotentă este și ea idempotentă. Idempotența este conservată la o Format:Ill-wd. Acest lucru poate fi demonstrat prin înmulțirea cu matricea transpusă $SA{S}^{-1}$ cu $A$ fiind idempotentă: $(SA{S}^{-1}{)}^2=(SA{S}^{-1})(SA{S}^{-1})=SA(S^{-1}S)A{S}^{-1}=S{A}^2{S}^{-1}=SA{S}^{-1}$.

Aplicații

Matricele idempotente apar frecvent în analiza de regresie și econometrie. De exemplu, în Format:Ill-wd problema regresiei este de a alege un vector Format:Mvar de estimări de coeficienți astfel încât să fie minimizată suma reziduurilor pătrate (predicții greșite) Format:Mvar: sub formă de matrice:

de minimizat $(y-X\beta {)}^{\mathsf{\text{T}}}(y-X\beta )$

unde $y$ este un vector care conține mărimile variabilelor dependente, iar $X$ este o matrice în care fiecare din coloanele ei este o coloană de observații ale variabilelor independente. Rezultatul estimării este

$\hat{\beta }={\left(X^{\mathsf{\text{T}}}X\right)}^{-1}{X}^{\mathsf{\text{T}}}y$

unde prin T este notată matricea transpusă, iar vectorul reziduurilor este:

$\hat{e}=y-X\hat{\beta }=y-X{\left(X^{\mathsf{\text{T}}}X\right)}^{-1}{X}^{\mathsf{\text{T}}}y=[I-X{\left(X^{\mathsf{\text{T}}}X\right)}^{-1}{X}^{\mathsf{\text{T}}}]y=My.$

Aici ambele $M$ și $X{\left(X^{\mathsf{\text{T}}}X\right)}^{-1}{X}^{\mathsf{\text{T}}}$ sunt matrici idempotente și simetrice, fapt care simplifică calculul sumei pătratelor reziduurilor:

${\hat{e}}^{\mathsf{\text{T}}}\hat{e}=(My{)}^{\mathsf{\text{T}}}(My)=y^{\mathsf{\text{T}}}{M}^{\mathsf{\text{T}}}My=y^{\mathsf{\text{T}}}MMy=y^{\mathsf{\text{T}}}My.$

Idempotența lui $M$ joacă un rol și în alte calcule, cum ar fi determinarea varianței estimării $\hat{\beta }$.