Rădăcină a unității

Reprezentarea grafică a celor cinci rădăcini de ordinul cinci ale unității

În analiza complexă, rădăcinile unității (numite uneori și numerele lui de Moivre) sunt acele numere complexe care, ridicate la o putere cu exponent număr natural n, dau ca rezultat unitatea. Studiul acestora apare în contextul calculării rădăcinii de ordinul n a unui număr complex oarecare.

Un astfel de număr $z\in ℂ$ este soluție a ecuației binome:

$z^n=1.$

Utilizând formula lui Moivre, se constată că rădăcinile de ordinul n ale unității sunt de forma:

${\epsilon }_k=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n},k\in \{0,1,2,\cdots ,n-1\}$

Sunt situate geometric pe cercul unitate cu centru în origine.

Cazuri particulare

• $n=1\epsilon ={\epsilon }_0=1$
• $n=2{\epsilon }_0=1,{\epsilon }_1=-1$
• $n=3{\epsilon }_0=1,{\epsilon }_1=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2},{\epsilon }_2=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $n=4{\epsilon }_0=1,{\epsilon }_1=i,{\epsilon }_2=-1,{\epsilon }_3=-i$

Rădăcinile unui număr complex oarecare

Cea mai importantă aplicație a rădăcinilor unității o constituie calculul rădăcinilor unui număr complex oarecare. Fie acesta $z=x+iy,x,y\in ℝ,$ care se va scrie sub formă trigonometrică:

$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ),$

unde $\rho =|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ este modulul numărului, iar $\theta =\arctan \frac{y}{x}.$

Atunci rădăcinile de ordinul n ale numărului z sunt de forma:

$w_k=\sqrt[n]{|z|}\cdot [\cos (\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n})+i\sin (\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n})].$