Valuare discretă

În matematică, o valuare discretă este o valuare întreagă pe un corp $K$; adică o funcție:Format:Sfn

$\nu :K\to \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}$

satisfăcând condițiile:

$\nu (x\cdot y)=\nu (x)+\nu (y)$

$\nu (x+y)\ge \min \{\nu (x),\nu (y)\}$

$\nu (x)=\mathrm{\infty }⟺x=0$

pentru orice $x,y\in K$.

De multe ori valuarea trivială (care ia doar valorile $0,\mathrm{\infty }$) este exclusă în mod explicit.

Un corp cu o valuare discretă netrivială se numește corp de valuare discretă.

Inele de valuare discretă și valuări pe corpuri

Oricărui corp comutativ $K$ cu valuarea discretă $\nu$ îi putem asocia subinelul

${𝒪}_K:=\{x\in K\mid \nu (x)\ge 0\}$

al lui $K$, care este un inel de valuare discretă. Reciproc, valuarea $\nu :A\to \mathbb{Z}\cup \{\mathrm{\infty }\}$ pe un inel de valuare discretă $A$ poate fi extinsă în mod unic la o valuare discretă pe corpul fracțiilor $K=\text{Frac}(A)$; inelul de valuare discretă asociat ${𝒪}_K$ e doar $A$.

Exemple

• Pentru orice număr prim fixat $p$ și pentru orice număr $x\in \mathbb{Q}$ diferit de zero scriem $x=p^j\frac{a}{b}$ cu $j,a,b\in \mathbb{Z}$ astfel încât $p$ să nu dividă $a,b$. Atunci $\nu (x)=j$ este o valuare discretă pe $\mathbb{Q}$, numită valuarea p-adică.
• Fiind dată o suprafață Riemanniană $X$, putem considera corpul $K=M(X)$ al funcțiilor meromorfe $X\to ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$. Pentru un punct fixat $p\in X$, definim o valuare discretă pe $K$ după cum urmează: $\nu (f)=j$ dacă și numai dacă $j$ este cel mai mare număr întreg cu proprietatea că funcția $f(z)/(z-p{)}^j$ poate fi extinsă la o funcție olomorfă în $p$. Aceasta înseamnă: dacă $\nu (f)=j>0$ atunci $f$ are un zero de ordin $j$ în punctul $p$; dacă $\nu (f)=j<0$ atunci $f$ are un pol de ordin $-j$ în $p$. În mod similar se definește o valuare discretă pe corpul funcțiilor unei curbe algebrice pentru orice punct regular $p$ de pe curbă.

Mai multe exemple pot fi găsite în articolul despre inelele de valuare discretă.

Bibliografie

• Format:Citation
• Format:Citation