Unghiurile lui Euler

Unghiurile lui Euler sunt cele trei unghiuri introduse de Leonhard Euler pentru a descrie orientarea unui solid rigid și pentru a descrie rotația acestuia în spațiu. Acestea sunt:

• θ - unghiul de nutație;
• ψ - unghiul de precesie;
• φ - unghiul de rotație proprie.

Se consideră sistemul de referință fix $O{x}_1{y}_1{z}_1$ și sistemul de referință $Oxyz$, fixat solidar de rigid. Trecerea de la primul sistem la al doilea se poate executa în trei etape:

• se efectuează o rotație plană de unghi $\psi$ a sistemului de referință în jurul axei $O{z}_1$ considerată fixă; sistemul de referință are o nouă poziție definită de axele $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime },Oz\equiv O{z}^{\prime }.$ Axa $O{x}^{\prime }$ se mai notează și ON și se numește axa nodurilor;
• se menține fixă axa $ON\equiv O{x}^{\prime }$ și se execută în jurul acesteia o rotație plană de unghi θ și astfel sistemul de referință are o nouă poziție definită de axele $O{x}^{″}{y}^{″}{z}^{″}$ și anume $O{x}^{\prime }\equiv O{x}^{″}.$
• se mențina axa $O{z}^{″}$ fixă și se rotește în jurul ei sistemul de referință cu unghiul ψ care va fi definită de matricea de rotație $[R_{\psi }].$

Legătura între coordonatele unui vector exprimată în cele două sisteme de referință $O{x}_1{y}_1{z}_1$ și $O{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$ este:

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right\}=\left|\begin{array}{ccc}\cos \psi & -\sin \psi & 0\\ \sin \psi & \cos \psi & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|\cdot \left\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right\}.$