Treapta unitate Heaviside

Funcţia treaptă Heaviside

Funcția treaptă Heaviside, u, numită și funcția treaptă unitate, este o funcție discontinuă ale cărei valori sunt zero pentru argumente negative și unu pentru argumente pozitive. Rareori contează ce valoare este folosită pentru u(0), deoarece $u$ este folosită mai ales ca distribuție.

Funcția este folosită în matematica teoriei controlului și a prelucrării semnalelor pentru a reprezenta un semnal care este pornit la un moment dat și rămâne pornit pe termen nedefinit. A fost denumit în cinstea matematicianului englez Oliver Heaviside.

Este funcția de distribuție cumulativă a unei variabile aleatoare care este aproape sigur 0.

Funcția Heaviside este o primitivă a funcției impulsul Dirac: u′ = δ. Aceasta se scrie uneori ca

$u(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\delta (t)\mathrm{d}t$

deși această dezvoltare ar putea să nu aibă sens pentru x = 0, în funcție de ce formalism se folosește pentru a da sens integralelor ce implică δ.

Forma discretă

Se poate defini o formă alternativă a treptei unitate ca funcție de o variabilă discretă n:

$H[n]=\{\begin{array}{cc}0,& n<0\\ 1,& n\ge 0\end{array}$

unde n este număr întreg.

Impulsul unitate în timp discret este prima diferență a treptei unitate

$\delta [n]=u[n]-u[n-1].$

Această funcție este suma cumulativă a funcției delta Kronecker:

$u[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^n\delta [k]$

unde

$\delta [k]={\delta }_{k,0}$

este funcția impuls unitar discret.

Aproximări analitice

Pentru o aproximare derivabilă a funcției treaptă, se poate folosi funcția

$u(x)\approx \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tanh (kx)=\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-2kx}}$,

unde un k mai mare corespunde unei tranziții mai bruște la x = 0. Dacă se ia u(0) = ½, egalitatea este valabilă la limită:

$u(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}(1+\tanh kx)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{1+{\mathrm{e}}^{-2kx}}$

Există multe aproximări derivabile analitice ale funcției treaptă. Acestea includ:

$u(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\arctan (kx)$

$u(x)=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{erf}(kx)$

În timp ce aceste aproximări converg punctual spre funcția treaptă, distribuțiile pe care le implică nu converg strict către distribuția delta. În particular, mulțimea măsurabilă

$\bigcup _{n=0}^{\mathrm{\infty }}[2^{-2n};2^{-2n+1}]$

are măsura zero în distribuția delta, dar sub fiecare aproximare derivabilă devine mai mare cu cât este crescut k.

Reprezentări

Adesea este utilă o reprezentare integrală a treptei unitate Heaviside:

$u(x)=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }-\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\tau +\mathrm{i}ϵ}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}x\tau }\mathrm{d}\tau$

u(0)

Valoarea funcției în 0 poate fi definită ca $u(0)=0$, $u(0)=\frac{1}{2}$ sau $u(0)=1$. $u(0)=\frac{1}{2}$ este alegerea cea mai populară, deoarece maximizează simetria funcției și devine complet consistentă cu funcția signum. Astfel se generalizează definiția:

$u(x)=\frac{1+\mathrm{sgn}(x)}{2}=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ \frac{1}{2},& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$

Pentru a elimina ambiguitatea asupra valorii de folosit pentru u(0), se folosește un indice care arată ce valoare se folosește:

$u_a(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ a,& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$

Primitiva și derivata

Funcția rampă este o primitivă a funcției treaptă Heaviside: $R(x):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}H(\xi )\mathrm{d}\xi$

Derivata funcției treaptă Heaviside este impulsul Dirac: $\frac{du(x)}{dx}=\delta (x)$

Transformata Fourier

Transformata Fourier a funcției treaptă Heaviside este o distribuție. Folosind o variantă de constante pentru definiția transformatei Fourier avem

$\hat{u}(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}xs}u(x)dx=\frac{1}{2}(\delta (s)-\frac{\mathrm{i}}{\pi s})$

Aici termenul $\frac{1}{s}$ trebuie interpretat ca o distribuție care primește o funcție de test $\varphi$ valoarea principală Cauchy pentru $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\varphi (x)/xdx$.