Teorema lui van Aubel

Există două teoreme van Aubel:

una care descrie relația dintre centrele pătratelor construite pe laturile unui patrulater convex, teoremă publicată de Henricus Hubertus van Aubel în 1878.^[1]
una care descrie relația dintre anumite segmente determinate de cevienele concurente într-un triunghi.

Teorema lui van Aubel referitoare la un patrulater

Pe laturile unui patrulater $A B C D$ se construiesc în exterior pătratele de centre $P, Q, R, S .$

Atunci segmentele $[P R], [Q S]$ sunt ortogonale și au aceeași lungime.

Există mai multe demonstrații:

o demonstrație bazată pe utilizarea numerelor complexe și scrierea afixelor punctelor $A, B, C, D$ și $P, Q, R, S;$
o demonstrație bazată pe rotații ale vectorilor;
o demonstrație bazată pe teorema lui Neuberg și pe faptul că punctele Q și S sunt imaginile punctelor Q și R printr-o rotație de centru situat în mijlocul segmentului [BD] și de unghi drept.

Ca o completare, teorema lui Thébault susține că $A B C D$ este paralelogram dacă și numai dacă $P Q R S$ este pătrat.

Într-un triunghi $A B C$ se consideră cevienele $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}$ concurente în P, cu $A^{'} \in B C, B^{'} \in C A, C^{'} \in A B .$

Atunci:

\frac{P A}{P A^{'}} = \frac{B^{'} A}{B^{'} C} + \frac{C^{'} A}{C^{'} B} .

Se scriu raporturi de arii:

\frac{P A}{P A^{'}} = \frac{𝒜_{P A B}}{𝒜_{P A^{'} B}} = \frac{𝒜_{P A C}}{𝒜_{P A^{'} C}} = \frac{𝒜_{P A B} + 𝒜_{P A C}}{𝒜_{P A^{'} B} + 𝒜_{P A^{'} C}} = \frac{𝒜_{P A B}}{𝒜_{P B C}} + \frac{𝒜_{P A C}}{𝒜_{P B C}}

\frac{B^{'} A}{B^{'} C} = \frac{𝒜_{B^{'} A B}}{𝒜_{B^{'} C B}} = \frac{𝒜_{B^{'} A P}}{𝒜_{B^{'} C P}} = \frac{𝒜_{B^{'} A B} - 𝒜_{B^{'} A P}}{𝒜_{B^{'} C B} - 𝒜_{B^{'} C P}} = \frac{𝒜_{P A B}}{𝒜_{P B C}}

\frac{C^{'} A}{C^{'} B} = \frac{𝒜_{C^{'} A C}}{𝒜_{C^{'} B C}} = \frac{𝒜_{C^{'} A P}}{𝒜_{C^{'} B P}} = \frac{𝒜_{C^{'} A C} - 𝒜_{C^{'} A P}}{𝒜_{C^{'} B C} - 𝒜_{C^{'} B P}} = \frac{𝒜_{P A C}}{𝒜_{P C B}}

O altă demonstrație se bazează pe utilizarea coordonatelor baricentrice:

\frac{\overline{P A}}{\overline{P A^{'}}} = - \frac{b + c}{a} \frac{\overline{B^{'} A}}{\overline{B^{'} C}} = - \frac{c}{a} \frac{\overline{C^{'} A}}{\overline{C^{'} B}} = - \frac{b}{a},

ceea ce conduce la egalitatea:

\frac{\overline{P A}}{\overline{P A^{'}}} = \frac{\overline{C^{'} A}}{\overline{C^{'} B}} + \frac{\overline{B^{'} A}}{\overline{B^{'} C}}