Teorema catetei

Teorema catetei - notații

Teorema catetei se enunță astfel: într-un triunghi dreptunghic lungimea unei catete este media geometrică dintre lungimea proiecției sale pe ipotenuză și lungimea ipotenuzei. $AB=\sqrt{DB\cdot BC}$

Demonstrație

Fie $AD\perp BC,D\in BC,p{r}_{BC}AB=BD$

Din asemănarea triunghiurilor $\mathrm{\Delta }ABD$ și $\mathrm{\Delta }CBA$ rezultă proporția:

$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$, de unde:

$A{B}^2=BD\cdot BC$, deci:

$AB=\sqrt{DB\cdot BC}$

Analog, se demonstrează și pentru cateta $AC$:

$A{C}^2=CD\cdot BC$, sau:

$AC=\sqrt{DC\cdot BC}$

Teoremă reciprocă (1)

Dacă într-un triunghi $ABC$:

$AD\perp BC$ și $A{B}^2=BD\cdot BC$,

rezultă că: $m(\mathrm{\angle }BAC)=90^o$

Teoremă reciprocă (2)

Dacă într-un triunghi $ABC$:

$m(\mathrm{\angle }BAC)=90^o$ și $A{B}^2=BD\cdot BC$

rezultă că: $AD\perp BC$

Bibliografie

• Dana Radu, Eugen Radu - Manual pentru clasa a VII-a
• Jacques Hadamard - Lecții de geometrie elementară. Geometrie plană, Editura Tehnică, București, 1962