Singularitate izolată

În analiza complexă o singularitate izolată este una care nu are altă singularități apropiate. Cu alte cuvinte, un număr complex Format:Mvar₀ este o singularitate izolată a unei funcții Format:Mvar dacă există un disc deschis Format:Mvar cu centrul în Format:Mvar₀ astfel încât Format:Mvar este olomorfă pe Format:Mvar \ {Format:Mvar₀}, adică pe mulțimea obținută din Format:Mvar fără Format:Mvar₀.

Formal, din punct de vedere al Format:Ill-wd, o singularitate izolată a unei funcții olomorfe $f:\mathrm{\Omega }\to ℂ$ este orice punct izolat al frontierei $\partial \mathrm{\Omega }$ a domeniului $\mathrm{\Omega }$. Cu alte cuvinte, dacă $U$ este o submulțime deschisă a $ℂ$, $a\in U$ și $f:U\setminus \{a\}\to ℂ$ este o funcție olomorfă, atunci $a$ este o singularitate izolată a lui $f$.

Orice singularitate a unei funcții meromorfe pe o submulțime deschisă $U\subset ℂ$ este izolată, dar izolarea singularităților nu este suficientă pentru a garanta că o funcție este meromorfă. Multe instrumente importante de analiză complexă, cum ar fi Format:Ill-wd și Format:Ill-wd necesită ca toate singularitățile relevante ale funcției să fie singularități izolate. Există trei tipuri de singularități izolate: singularități eliminabile, poli și singularități esențiale.

Exemple

• Funcția $\frac{1}{z}$ are 0 ca singularitate izolată.
• Funcția cosecantă $\csc \left(\pi z\right)$ are orice întreg ca singularitate izolată.

Singularități neizolate

În afară de singularitățile izolate, funcțiile complexe de o variabilă pot prezenta un alt comportament singular. Și anume, există două tipuri de singularități neizolate:

• Puncte de acumulare ale singularităților izolate: dacă toate sunt poli, deși toate admit dezvoltări în serie Laurent, o astfel de dezvoltare nu este posibilă la limita sa.
• Frontiere naturale, adică orice mulțime neizolată (de exemplu o curbă) în jurul căreia funcțiile nu pot fi continue analitic (sau în afara lor dacă sunt curbe închise din sfera Riemann).

Exemple

• Funcția $\tan \left(\frac{1}{z}\right)$ este meromorfă pe $ℂ\setminus \{0\}$, cu poli simpli în $z_n={(\frac{\pi }{2}+n\pi )}^{-1}$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}_0$. Deoarece $z_n\to 0$, orice disc perforat cu centrul în $0$ are un număr infinit de singularități, deci nu este disponibilă nicio dezoltare Laurent pentru $tan\left(\frac{1}{z}\right)$ în jurul lui $0$, care este de fapt un punct de acumulare al polilor săi.
• Funcția $\csc \left(\frac{\pi }{z}\right)$ are o singularitate în 0 care este nu este una izolată, deoarece există singularități la inversele oricărui întreg, care sunt situate arbitrar de aproape de 0 (deși singularitățile acestor inverse sunt ele însele izolate).
• Funcția definită prin seria Maclaurin ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^{2^n}$ converge în interiorul discului unitate deschis centrat în $0$ și are cercul unitate ca frontieră naturală.

Bibliografie

• Format:En icon Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1979).
• Format:En icon Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 3 ed. (McGraw-Hill, 1986).

Legături externe

• Format:En icon Format:MathWorld