Serie hipergeometrică fundamentală

În matematică, prin serie hipergeometrică fundamentală, câteodată numită și q-serie hipergeometrică, se înțelege generalizarea q-seriilor analoage a seriei hipergeometrice ordinare. În mod uzual sunt definite două serii fundamentale: seria hipergeometrică fundamentală unilaterală și seria hipergeometrică fundamentală bilaterală.

Numele i-a fost dat prin analogie cu seria hipergeometrică ordinară. O serie ordinară ${x_{n}}$ este numită o serie ordinară hipergeometrică în cazul în care raportul dintre termenii succesivi $x_{n + 1} / x_{n}$ este o funcție rațională de n. Dar dacă raportul termenilor succesivi este o funcție rațională de $q^{n}$ , atunci seria se numește serie hipergeometrică fundamentală.

Serie hipergeometrică fundamentală a fost luată în considerație pentru prima dată de Eduard Heine în secolul XIX, ca un mod de a capta caracteristicile comune ale funcției theta a lui Jacobi si ale funcției eliptice.

Definiție

Seria hipergeometrică fundamentală unilaterală este definită ca:

_{j} ϕ_{k} [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{j} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{k} \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{j}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}, q; q)_{n}} {((- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})})}^{1 + k - j} z^{n}

unde

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}; q)_{n} = (a_{1}; q)_{n} (a_{2}; q)_{n} \dots (a_{m}; q)_{n}

este permutarea q-factorială. Cazul cel mai important se obține atunci când j = k+1, având forma:

_{k + 1} ϕ_{k} [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k + 1} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{k} \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k + 1}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}, q; q)_{n}} z^{n} .

Seria hipergeometrică fundamentală bilaterală corespounde seriei hipergeometrice bilaterale și este definită ca:

_{j} ψ_{k} [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{j} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{k} \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{j}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}; q)_{n}} {((- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})})}^{k - j} z^{n} .

Cazul cel mai important se obține atunci când j = k, având forma:

_{k} ψ_{k} [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & \dots & a_{k} \\ b_{1} & b_{2} & \dots & b_{k} \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}; q)_{n}} z^{n} .

Seria unilaterală poate fi obținută ca un caz special al celei bilaterale facând variabila b egală cu q, cel puțin atunci când nici una dintre variabilele a nu este o putere a lui q, caz în care toți termenii cu n < 0 vor dispărea.

Serii simple

Expresiile câtorva serii simple includ:

\frac{z}{1 - q}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} q q \\ q^{2} \end{matrix}; q, z] = \frac{z}{1 - q} + \frac{z^{2}}{1 - q^{2}} + \frac{z^{3}}{1 - q^{3}} + \dots

\frac{z}{1 - q^{1 / 2}}_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} q q^{1 / 2} \\ q^{3 / 2} \end{matrix}; q, z] = \frac{z}{1 - q^{1 / 2}} + \frac{z^{2}}{1 - q^{3 / 2}} + \frac{z^{3}}{1 - q^{5 / 2}} + \dots

_{2} ϕ_{1} [\begin{matrix} q - 1 \\ - q \end{matrix}; q, z] = 1 + \frac{2 z}{1 + q} + \frac{2 z^{2}}{1 + q^{2}} + \frac{2 z^{3}}{1 + q^{3}} + \dots .

Identități simple

_{1} ϕ_{0} (a; q, z) = \prod_{n = 0}^{\infty} \frac{1 - a q^{n} z}{1 - q^{n} z}

_{1} ϕ_{0} (a; q, z) = \frac{1 - a z}{1 - z}_{1} ϕ_{0} (a; q, q z) .

Cazul special $a = 0$ este strâns legat de q-exponențial.

Identitatea lui Ramanujan

Ramanujan a dat următoarea identitate:

_{1} ψ_{1} [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}; q, z] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} = \frac{(b / a; q)_{\infty} (q; q)_{\infty} (q / a z; q)_{\infty} (a z; q)_{\infty}}{(b; q)_{\infty} (b / a z; q)_{\infty} (q / a; q)_{\infty} (z; q)_{\infty}}

valabilă pentru $| q | < 1$ și $| b / a | < | z | < 1$ . Similar identitatea $_{6} ψ_{6}$ a fost dată de Bailey. Astfel de identități pot fi înțelese ca o generalizare a teoremei produsului triplu al lui Jacobi, care poate fi scris folosind q-serii:

\sum_{n = - \infty}^{\infty} q^{n (n + 1) / 2} z^{n} = (q; q)_{\infty} (- 1 / z; q)_{\infty} (- z q; q)_{\infty} .

Ken Ono a dat următoarea serie de puteri formală:

A (z; q) \overset{d e f}{=} \frac{1}{1 + z} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(z; q)_{n}}{(- z q; q)_{n}} z^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} z^{2 n} q^{n^{2}} .

Referințe

Eduard Heine, Theorie der Kugelfunctionen, (1878) 1, pp 97-125.
Eduard Heine, Handbuch die Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.
W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
Format:Citation
William Y. C. Chen and Amy Fu, Semi-Finite Forms of Bilateral Basic Hypergeometric Series Format:Webarchive (2004)
Sylvie Corteel and Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's $_{1} ψ_{1}$ Summation, (undated)
Gwynneth H. Coogan and Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions Format:Webarchive, (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131, pp. 719-724

Serie hipergeometrică fundamentală

Cuprins

Definiție

Serii simple

Identități simple

Identitatea lui Ramanujan

Referințe

Meniu de navigare

Serie hipergeometrică fundamentală

Definiție

Serii simple

Identități simple

Identitatea lui Ramanujan

Referințe

Meniu de navigare

Căutare