Scheme de probabilitate

Scheme clasice de probabilitate

Schema lui Poisson

Fie $A_1,A_2,...,A_n$, n evenimente independente ale unui experiment.Notăm cu $p_i(A_i)$ probabilitatea realizării evenimentului de exemplu $A_i$ și $q_i(A_i)=1-p_i,p_i+q_i=1,i=$ $\overline{1,n}$.

Probabilitatea realizării unui număr de „k” evenimente din cele „n”, este data de coeficientul lui $X_k$ din dezvoltarea:

$(p_{1}X+q_1)\cdot (p_{2}X+q_2)\cdot ...\cdot (p_{n}X+q_n)$

Exemplu:

Se consideră 4 urne, fiecare conținând bile albe și bile negre.În prima urnă avem 50 bile din care 10 sunt albe, iar în a doua urnă 30 bile din care 5 sunt albe, iar în a treia urnă 10 bile din care 2 sunt albe, iar în ultima urnă 25 bile din care 10 sunt albe.Care este probabilitatea ca, extrăgând din fiecare urnă o bilă, să obținem 3 bile albe.

Soluție:

Alegem următoarele evenimente independente:

$A_1:$"Bila extrasă din urna $U_1$ este albă"

$A_2:$"Bila extrasă din urna $U_2$ este albă"

$A_3:$"Bila extrasă din urna $U_3$ este albă"

$A_4:$"Bila extrasă din urna $U_4$ este albă"

$P_1(A_1)=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}\Rightarrow q_1(A_1)=\frac{4}{5}$

$P_2(A_2)=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}\Rightarrow q_2(A_2)=\frac{5}{6}$

$P_3(A_3)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\Rightarrow q_3(A_3)=\frac{4}{5}$

$P_4(A_4)=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\Rightarrow q_4(A_4)=\frac{3}{5}$

probabilitatea ca,din cele 4 bile extrase,3 să fie albe,este coeficientul lui $X^3$ din dezvoltarea:

$(\frac{1}{5}X+\frac{4}{5})\cdot (\frac{1}{6}X+\frac{5}{6})\cdot (\frac{1}{5}X+\frac{4}{5})\cdot (\frac{2}{5}X+\frac{3}{5})$

Rezultat $\frac{29}{750}$

Schema lui Bernoulli sau schema binomială

Fie $A_1,A_2,...,A_n$, n evenimente independente echiprobabile, $P(A_i)=p,i=$ $\overline{1,n}$ și $q=1-p$

Probabilitatea realizării unui număr de k evenimente din cele n evenimente date este egală cu coeficientul lui $x^k$ din dezvoltarea binomială $(px+q{)}^n,$ adică este egală cu: $C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$

Exemplu:

O urnă conține 10 bile ,dintre care 3 sunt albe.se fac 25 extrageri(cu reintroducerea în urna a bilei extrase).Care este probabilitatea ca bila albă să apară de 10 ori?

Soluție:

Considerăm evenimentul $A_i,$:"La extragerea $i$ să apară bila albă", $i=$ $\overline{1,n}$

Evenimentele $A_i$ sunt independente și echiprobabile cu $p=P(A_i)=\frac{3}{10}$ și $q=\frac{7}{10}$

Probabilitatea este:

$C_{25}^{10}(\frac{3}{10}{)}^{10}\cdot (\frac{7}{10}{)}^{15}$

Bibliografie

• Burtea M.,Burtea G. -"Matematică-manual pentru clasa a X-a ", Ed.Carminis,2008
• Ganga M.-"Matematică-manual pentru clasa a X-a",Ed.Mathpress,2008
• Radu V.,Barbu D.,Parau E.,Surulescu N.-"Elemente de Teoria Probabilităților și aplicații", Ed.Mirton,1997