Regula de aur a acumulării

Regula de aur a acumulării a lui Edmund S. Phelps indică faptul că consumul pe cap de locuitor se maximizează atunci când rata dobânzii este egală cu rata de creștere a produsului intern brut. Regula de aur a acumulării este criticată pentru faptul că nu ia în considerare preferințele temporale (în mod diferit față de regula Ramsey).

Cu ajutorul regulii de aur, rata obținută a dobânzii ar putea fi utilizată ca „o rată reală constantă a dobânzii“ în cadrul regulii lui Taylor pentru determinarea ratei dobânzii a lui Taylor.

Rata de creștere Steady-State

Creșterea stocului de capital $\dot{K}$ este egală cu investițiile $I$, care sunt finanțate prin economisiri $S$:

$\dot{K}=I=S$

Cota de economii $s=\frac{S}{Y}=\frac{\dot{K}}{Y}$

Funcția de consum: $C=(1-s)\cdot Y+N$

Intensitatea capitalului $k=\frac{K}{A}$

Producția pe cap de locuitor: $y=\frac{Y}{A}$

Funcția de producție: $Y=F(K,A)$

Funcția de producție linear-homogenă:

$const.\cdot Y=F(const.\cdot K,const.\cdot A)$

$const.=\frac{1}{A}$
$\frac{1}{A}\cdot Y=F(\frac{1}{A}\cdot K,\frac{1}{A}\cdot A)$

deci, funcția de producție poate fi exprimată și prin mărimi pe cap de locuitor. Producția unui anumit muncitor depinde de resursele de capital ale acelui muncitor (intensitatea capitalului):

$\text{y = F(k,1)=f(k)}$

Rata de creștere a populației/ocupației $A$ este dată exogen:

$\frac{\dot{A}}{A}=\hat{A}=m$

Rata de creștere Steady-State, toate mărimile trebuie să crească cu aceeași rată:

$\frac{\dot{Y}}{Y}=\frac{\dot{A}}{A}=\frac{\dot{K}}{K}=m$

$\frac{\dot{K}}{K}=\hat{K}=s\cdot \frac{Y}{K}=s\cdot \frac{y}{k}=m$

$s\cdot \frac{y}{k}=s\cdot \frac{f(k)}{k}=m$

$s\cdot f(k)=m\cdot k$

Maximizarea consumului pe cap de locuitor

Pentru ce rată de creștere Steady-State este maximizat consumul pe cap de locuitor $\frac{C}{A}$?

$\frac{C}{A}=(1-s)\frac{Y}{A}=(1-s)y=(1-s)f(k)$

În conformitate cu Steady State e valabil:

$s\cdot f(k)=m\cdot k$

Deci:

$\frac{C}{A}=f(k)-m\cdot k$

Maximizarea consumului pe cap de locuitor în ceea ce privește variabila $k$, înseamnă derivarea în funcție de $k$ și egalarea cu zero:

$f^{\prime }(k)-m=0$

Regula de aur a acumulării

Productivitatea marginală a capitalului $f^{\prime }(k)$ trebuie deci să fie egală cu rata de creștere $m$. În teoria neoclasică se presupune că productivitatea marginală a capitalului este egală cu prețul investiției inițiale, deci egală cu rata profitului, respectiv cu rata dobânzii.

Calcul auxiliar al productivității marginale a capitalului

Productivitatea marginală a capitalului ca derivată parțială a lui $F(K,A)$ în funcție de $K$:

$\frac{\delta F(K,A)}{\delta K}$

Omogenitate lineară:

$F(K,A)=A\cdot F(\frac{K}{A},1)=A\cdot f(k)$

Calcul parțial (utilizând derivarea prin părți):

$\frac{\delta F(\frac{K}{A},1)}{\delta K}=\frac{\delta F(\frac{K}{A},1)}{\delta \frac{K}{A}}\cdot \frac{\delta \frac{K}{A}}{\delta K}$

$=f^{\prime }(k)\frac{1}{A}$

În total:

$\frac{\delta F(K,A)}{\delta K}=f^{\prime }(k)$