Problema monedei de cinci lei a lui Țițeica

De la testwiki
Sari la navigare Sari la căutare

Trei cercuri congruente se intersectează într-un punct. Luându-se două câte două, se obțin încă trei puncte de intersecție. Cercul determinat de aceste trei puncte are raza egală cu raza cercurilor date.

Demonstratie utilizand numere complexe

Fie cercurile cu centrele O1,O2,O3 si raza r.Notam A,B,C punctele lor de intersectie si O punctul lor comun.Consideram un reper cartezian ce are centrul in O. Fie z1,z2,z3,zA,zB,zC,zO afixele punctelor O1,O2,O3,A,B,C,O in aceasta ordine. Avem O2A=O3A=O3O=OO2=r.De aici rezulta ca patrulaterul O3AO2O este un romb,deci zO+zA=z2+z3<=>zA=z2+z3. Analog obtinem ca zB=z1+z3 si zC=z1+z2. Avem  : 

      AB=|zA−zB|=|z2−z1|=O1O2
      BC=|zB−zC|=|z3−z2|=O2O3
      AC=|zA−zC|=|z3−z1|=O1O3

Din ultimele 3 relatii △ABC≡△O1O2O3.Acest lucru inseamna ca si cercurile lor circumscrise au razele egale. Dar avem ca OO1=OO2=OO3=r adica raza cercului circumscris triunghiului △O1O2O3 este r. Din ultimele 2 randuri obtinem ca raza cercului circumscris △ABC este r,deci este congruent cu cercurile date.

Bibliografie

"Matematică, manual pentru clasa a X-a -TC+ CD"-Constantin Năstăsescu, Constantin Niță, Ion Chițescu, Dan Mihalca, Monica Dumitrescu.

Vezi și

Adus de la „https://ro.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Problema_monedei_de_cinci_lei_a_lui_Țițeica&oldid=1077”