Problema monedei de cinci lei a lui Țițeica

De la testwiki
Sari la navigare Sari la căutare

Trei cercuri congruente se intersectează într-un punct. Luându-se două câte două, se obțin încă trei puncte de intersecție. Cercul determinat de aceste trei puncte are raza egală cu raza cercurilor date.

Demonstratie utilizand numere complexe

Fișier:Titeica.png

Fie cercurile cu centrele O1,O2,O3 si raza r.Notam A,B,C punctele lor de intersectie si O punctul lor comun.Consideram un reper cartezian ce are centrul in O. Fie z1,z2,z3,zA,zB,zC,zO afixele punctelor O1,O2,O3,A,B,C,O in aceasta ordine. Avem O2A=O3A=O3O=OO2=r.De aici rezulta ca patrulaterul O3AO2O este un romb,deci zO+zA=z2+z3<=>zA=z2+z3. Analog obtinem ca zB=z1+z3 si zC=z1+z2. Avem  : 

      AB=|zA−zB|=|z2−z1|=O1O2
      BC=|zB−zC|=|z3−z2|=O2O3
      AC=|zA−zC|=|z3−z1|=O1O3

Din ultimele 3 relatii △ABC≡△O1O2O3.Acest lucru inseamna ca si cercurile lor circumscrise au razele egale. Dar avem ca OO1=OO2=OO3=r adica raza cercului circumscris triunghiului △O1O2O3 este r. Din ultimele 2 randuri obtinem ca raza cercului circumscris △ABC este r,deci este congruent cu cercurile date.

Bibliografie

"Matematică, manual pentru clasa a X-a -TC+ CD"-Constantin Năstăsescu, Constantin Niță, Ion Chițescu, Dan Mihalca, Monica Dumitrescu.

Vezi și

Adus de la „https://ro.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Problema_monedei_de_cinci_lei_a_lui_Țițeica&oldid=1077”