Principiul contracției

Fie $(S, d)$ un spațiu metric complet. Aplicația $f : S ⟶ S$ este o contracție a lui S dacă există $q \in (0, 1)$ , numit coeficient de contracție, astfel încât:

d (f (x), f (y)) \leq q d (x, y) (\forall) x, y \in S (1.1)

Punctul $c \in S$ se numește punct fix al aplicației $f : S ⟶ S$ dacă avem: $f (c) = c . (1.2)$

Fie $a_{0} \in S$ fixat și fie șirul de puncte $(a_{n})_{n \in ℕ}$ din S definit succesiv prin:

{\begin{matrix} a_{1} = f (a_{0}) \\ a_{2} = f (a_{1}) \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ a_{n} = f (a_{n - 1}) \end{matrix}

Știind că S este un spațiu metric complet pentru a arăta că șirul $(a_{n})_{n \in ℕ}$ definit prin (1.3) este convergent în S este suficient să arătăm că acest șir este fundamental în S. Deoarece f este o contracție a lui S, avem succesiv:

d (a_{1}, a_{2}) = d (f (a_{0}), f (a_{1}) \leq q d (a_{0}, a_{1})

d (a_{2}, a_{3}) = d (f (a_{1}), f (a_{2}) \leq q d (a_{1}, a_{2}) \leq q^{2} d (a_{0}, a_{1})

d (a_{3}, a_{4}) = d (f (a_{2}), f (a_{3}) \leq q d (a_{2}, a_{3}) \leq q^{3} d (a_{0}, a_{1})

Prin inducție se obține:

d (a_{n}, a_{n + 1}) \leq q^{n} d (a_{0}, a_{1}), (\forall) n \in ℕ, q \in (0, 1) .

(1.4)

Pe de altă parte, pentru orice $p \in ℕ$ , avem

d (a_{n}, a_{n + p}) \leq d (a_{n}, a_{n + 1} + d (a_{n + 1}, a_{n + 2}) + . . . d (+ a_{n + p - 1}, a_{n + p})

și folosind corespunzător inegalitatea (1.4) se obține:

d (a_{n}, a_{n + p}) \leq q^{n} d (a_{0}, a_{1}) + q^{n + 1} d (a_{0}, a_{1}) + . . . + q^{n + p - 1} d (a_{0}, a_{1}) =

= q^{n} d (a_{0}, a_{1}) (1 + q + q^{2} + . . . + q^{n - 1}) = q^{n} d (a_{0}, a_{1}) \frac{q^{p} - 1}{q - 1} =

= q^{n} d (a_{0}, a_{1}) \frac{1 - q^{p}}{1 - q} \leq \frac{q^{n}}{1 - q} d (a_{0}, a_{1}) .

Deci:

d (a_{p}, a_{n + p}) \leq \frac{q^{n}}{1 - q} d (a_{0}, a_{1}), (\forall) n \in ℕ, (\forall) p \in ℕ, q \in (0, 1) .

(1.5)

Presupunem că $d (a_{0}, a_{1}) \neq 0$ . Deoarece $q \in (0, 1) \Rightarrow \frac{q^{n}}{1 - q} d (a_{0}, a_{1}) \to 0 \in ℝ$ , ceea ce implică:

((\forall) ε > 0, (\exists) N (ε)

, (1.6)

astfel încât $(\forall) n > N (ε)$ și $(\forall) p \in ℕ \Rightarrow d (a_{n}, a_{n + p}) < ε$ și aratăm că șirul de puncte $(a_{n})_{n \in ℕ}$ este un șir fundamental în spațiul metric complet S și in consecință este convergent în S. În acest caz notăm $c = \lim \limits_{n \to \infty} a_{n}$ ; $c \in S (a_{0} ⟶ c$ ) în S.

În acest caz notăm: $c = \lim \limits_{n \to \infty} a_{n}$ ; $c \in S$ ( $a_{0} \to c$ în S). Să arătăm că c este punctul fix al contracției f.
Deoarece $a_{n} \to c$ în S, rezultă că pentru orice $ε > 0$ , există un rang $x (ε) > o$ , astfel încât dacă $n > N (ε)$ , atunci $d (a_{0}, c) < ε$ .

Observând și inegalitatea evidentă $d (f (a_{0}), f (c)) \leq d (a_{0}, c)$ , datorită contracției f, se obține: $d (f (a), f (c)) < ε, (\forall) n > N (ε))$ care arată că $f (a_{0}) \to f (c)$ în S și care implică : $a_{n + 1} \to f (c)$ în S. Dar avem și $a_{n + 1} \to c$ în S și cum S este spațiu metric (unde limita unui șir convergent este unică rezultă egalitatea $f (c) = c$ , adică $c \in S$ este punct fix al contracției f.

Să arătăm acum unicitatea lui c. Presupunem că mai există $c_{1} \in S$ , astfel încât $f (c_{1}) = c_{1}$ . În acest caz avem $d (c, c_{1}) = d (f (c), f (c_{1})) \leq q d (c, c_{1}) .$

Rezultă $(1 - q) d (c, c_{1}) \leq 0, q \in (0, 1)$ , care implică $d (c, c_{1}) = 0$ și deci $c_{1} = c$ . Am arătat că punctul fix al contracției este unic.

d (a_{2}, a_{3}) = d (f (a_{1}), f (a_{2})) \leq q d (a_{1}, a_{2}) \leq q^{2} d (a_{0}, a_{1})

Bibliografie

G. Tătar, Calcul diferențial și integral, Ed. Economică, București, 2002.

Principiul contracției

Principiul contracției

Bibliografie

Meniu de navigare

Căutare