Particulă într-o cutie

Câteva traiectorii ale unei particule într-o cutie conform legilor mecanicii clasice a lui Newton (A) și conform ecuației lui Schrödinger a mecanicii cuantice (B-F). În cazurile (B-F), axa orizontală reprezintă poziția, iar axa verticală partea reală (albastru) și partea imaginară (roșu) a funcției de undă. Stările (B,C,D) sunt stări staționare ale energiei (valori proprii), în timp ce (E,F) nu sunt.

În mecanica cuantică, modelul particulei într-o cutie (cunoscut și sub numele de fântâna potențialului infinit) descrie mișcarea unei particule libere într-un spațiu mic înconjurat de bariere impenetrabile. Modelul este utilizat în principal ca exemplu ipotetic pentru a ilustra diferențele dintre sistemele clasice și cele cuantice. În sistemele clasice, de exemplu, o particulă prinsă într-o cutie mare se poate deplasa cu orice viteză în interiorul cutiei și nu este mai probabil să fie găsită într-o poziție decât în alta. Cu toate acestea, atunci când limitele spațiale ale cutiei devin foarte mici (la scară de câțiva nanometri), efectele cuantice devin importante, iar particula poate ocupa doar anumite nivele energetice pozitive. În plus, aceasta nu poate avea niciodată energie zero, ceea ce înseamnă că particula nu se poate afla niciodată în stare „staționară”. Conform teoriei cuantice aplicate acestui model, este mai probabil ca particula să fie găsită în anumite poziții decât în altele, în funcție de nivelul său energetic. Particula nu poate fi detectată niciodată în anumite poziții, cunoscute sub numele de noduri spațiale.

Modelul particulei într-o cutie este una dintre foarte puținele experimente mentale din mecanica cuantică care poate fi rezolvată analitic, fără aproximări. Datorită simplității sale, modelul permite înțelegerea efectelor cuantice fără a fi nevoie de matematici complicate. Acesta servește ca o ilustrare simplă a modului în care apar cuantele de energie (niveluri de energie, cu valori discrete posibile), care se regăsesc și în sisteme cuantice mai complicate, cum ar fi atomii și moleculele. Este una dintre primele probleme de mecanică cuantică predate în cadrul cursurilor de fizică universitare și este frecvent utilizată ca aproximare pentru sisteme cuantice mai complicate.

Soluția unidimensională

Regiunile aflate în afara cutiei unidimensionale prezintă un potențial infinit de mare, în timp ce interiorul cutiei are un potențial constant, egal cu zero. În figură este prezentat cazul particular când marginea cutiei se află în poziția 0, când $x_c=L/2$.

Cea mai simplă formă a modelului particulei într-o cutie poate fi aplicată pentru un sistem unidimensional. În acest caz, particula se poate deplasa doar de-a lungul unei axe drepte, fiind împiedicată de bariere impenetrabile la fiecare capăt. Pereții cutiei unidimensionale pot fi considerați ca fiind regiuni ale spațiului cu o energie potențială infinit de mare (de unde și denumirea de fântâna potențialului infinit). În schimb, interiorul cutiei are o energie potențială constantă, egală cu zero. Aceasta înseamnă că asupra particulei din interiorul cutiei nu acționează nicio forță și că aceasta se poate deplasa liber în acea regiune spațială bine definită. Cu toate acestea, forțe infinit de mari resping particula dacă aceasta atinge pereții cutiei, împiedicând-o să evadeze în afara sa. Energia potențială în acest model este dată ca atunci de funcția: $$V(x)=\{\begin{array}{cc}0,& x_c-\frac{L}{2}<x<x_c+\frac{L}{2},\\ \mathrm{\infty },& \text{cazul contrar,}\end{array},$$

unde L este lungimea cutiei, x_c reprezintă centrul cutiei, iar x este poziția particulei în cutie.

Dată fiind această funcție, cele mai comune generalizări apar când cutia este centrată în sistemul de coordonate (x_c = 0) sau este ușor deplasată (x_c = L/2; vezi imagine).

Funcția de undă și poziția

În mecanica cuantică, funcția de undă oferă cea mai fundamentală descriere a comportamentului unei particule. În acest caz, proprietățile măsurabile ale particulei (cum ar fi poziția, impulsul și energia acesteia) pot fi toate derivate utilizând funcția de undă. Funcția de undă $\psi (x,t)$ este determinată pe baza ecuației lui Schrödinger dependentă de timp, aplicată pentru un anumit sistem: $$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi (x,t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),$$

unde $\hslash$ este constanta Planck redusă (constanta Dirac), $m$ este masa particulei, $i$ este unitatea imaginară iar $t$ este timpul.

În interiorul cutiei, nicio forță nu acționează asupra particulei, ceea ce înseamnă că funcția de undă descrie o mișcare oscilatorie prin spațiu-timp, corespunzător unei particule libere:

$$\psi (x,t)=[A\sin (kx)+B\cos (kx)]e^{-i\omega t},$$

unde $A$ și $B$ reprezintă numere complexe arbitrare. În mod analog unui oscilator armonic, frecvența oscilațiilor în spațiu-timp este dată de numărul de undă $k$ și de viteza unghiulară $\omega$.

Funcțiile de undă inițiale pentru patru stări posibile, în modul unidimensional al particulei într-o cutie.

Parametrii $k$ și $\omega$ descriu împreună energia totală a particulei pe baza expresiei (care reprezintă relația de dispersie a unei particule libere):

$$E=\hslash \omega =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m},$$

Cu toate acestea, deoarece particula nu este complet liberă, ci sub influența unui anumit potențial, energia particulei este:

$$E=T+V,$$

unde T și V reprezintă energia cinetică și potențială.

În acest caz, energia particulei nu poate fi egală cu $E=p^2/2m$. Cu alte cuvinte, impulsul particulei nu este descris de ecuația $p=\hslash k$. Astfel, numărul de undă k definit anterior descrie de fapt stările energetice ale particulei și nu este legat de impuls așa cum este de obicei „numărul de undă”. Motivul pentru care k este numit număr de undă este faptul că enumeră numărul de concavități (maxime) ale funcției de undă în interiorul cutiei și, în acest sens, este un număr de undă. Această discrepanță poate fi observată și prind faptul că spectrul de energie al particulei este discret (sunt permise numai valori discrete ale energiei), în timp ce impulsul poate varia în mod continuu: $E\ne p^2/2m$.

Amplitudinea funcției de undă la o poziție dată este legată de probabilitatea de a regăsi particula în acea poziție prin relația $P(x,t)=|\psi (x,t){|}^2$. Așadar, funcția de undă trebuie să fie nulă în toate pozițiile din afara cutiei. În același timp, datorită continuității funcției de undă, amplitudinea nu poate să prezinte modificări abrupte. Aceste două condiții sunt satisfăcute de funcțiile de forma:Format:Sfn $${\psi }_n(x,t)=\{\begin{array}{cc}A\sin \left(k_n(x-x_c+\frac{L}{2})\right)e^{-i{\omega }_{n}t}& x_c-\frac{L}{2}<x<x_c+\frac{L}{2}\\ 0& \text{cazul contrar}\end{array},$$ unde $$k_n=\frac{n\pi }{L},$$

Funcțiile de undă ${\psi }_n$ pentru mai multe niveluri energetice

Densitatea de probabilitate $|{\psi }_n{|}^2$ pentru mai multe niveluri energetice

și $$E_n=\hslash {\omega }_n=\frac{k_n^2{\hslash }^2}{2m}=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2},$$

sunt adevărate pentru orice număr întreg pozitiv $n\in \mathbb{Z}>0$.

Cele mai simple soluții ale ecuației, $k_n=0$ sau $A=0$, duc la obținerea unei funcții de undă banale $\psi (x)=0$, care descrie o particulă practic inexistentă în acest sistem. Observația importantă este că, pentru particulă, doar o mulțime discretă de valori ale energiei și numere de undă k este permisă.

În final, constanta necunoscută $A$ poate fi dedusă pe baza normalizării funcției de undă, pentru care există condiția: $$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{|\psi (x)|}^{2}dx=1,$$ așadar pentru orice număr complex $A$ al cărui valoare absolută este: $$\left|A\right|=\sqrt{\frac{2}{L}},$$ se obține aceeași stare normaliză.

Este de așteptat ca valorile proprii, și anume energia cutiei: $E_n$ ar trebui să fie aceeași indiferent de poziția sa în spațiu. Cu toate acestea, ${\psi }_n(x,t)$ variază și se poate observa faptul că $x_c-\frac{L}{2}$ reprezintă o deplasare de fază în funcția de undă. Această modificare de fază nu are niciun efect în timpul rezolvării ecuației Schrödinger și, prin urmare, nu afectează valoarea proprie.

În cazul în care originea coordonatelor reprezintă de fapt centrul cutiei descrise mai sus, componenta spațială a funcției de undă poate fi redată ca: $${\psi }_n(x)=\{\begin{array}{c}\sqrt{\frac{2}{L}}\sin (k_{n}x)\text{pentru }n\text{ par}\\ \sqrt{\frac{2}{L}}\cos (k_{n}x)\text{pentru }n\text{ impar}.\end{array}$$

Bibliografie

• Format:Cite book
• Format:Cite book
• Format:Cite book
• Format:Cite book
• Format:Cite book

Vezi și

• Istoria mecanicii cuantice
• Oscilatorul armonic liniar (cuantic)
• Pisica lui Schrödinger
• Potențial delta
• Teorema lui Bloch