Notația orbifold

În geometrie notația orbifold (sau semnătura orbifold) este un sistem inventat de matematicianul William Thurston și promovat de John Conway pentru reprezentarea tipurilor de grupuri de simetrie în spații bidimensionale de curbură constantă. Avantajul notației este că descrie aceste grupuri într-un mod care indică multe dintre proprietățile grupurilor: în special, urmează metoda lui William Thurston pentru descrierea unui Format:Ill-wd obținut prin aplicarea topologică a spațiului euclidian pe grupul luat în considerare.

Grupurile reprezentabile în această notație cuprind Format:Ill-wd de pe sferă ($S^2$), grupurile de friză și Format:Ill-wd ale planului euclidian ($E^2$) și analogii lor din planul hiperbolic ($H^2$).

Definiția notației

Într-un grup descris prin notația orbifold pot apărea următoarele tipuri de transformări euclidiene:

• reflexia față de o dreaptă (sau un plan);
• translația cu un vector;
• rotația de ordin finit față de un punct;
• rotația infinită față de o dreaptă în spațiul tridimensional;
• reflexia translată, adică reflexia urmată de o translație.

Se presupune că toate translațiile care au loc formează un subgrup discret al simetriilor de grup care sunt descrise.

Fiecare grup este notat în notația orbifold printr-un șir finit format din următoarele simboluri:

• numere întregi pozitive $1,2,3,\dots$ ;
• simbolul infinitului, $\mathrm{\infty }$ ;
• asteriscul, * ;
• simbolul o (un cerc plin în documentele mai vechi), numit și toartă deoarece topologic reprezintă o suprafață închisă în formă de tor (topologic echivalent cu o toartă) — unde modelele se repetă în urma a două translații;
• simbolul $\times$ (un cerc gol în documentele mai vechi), unde un model se repetă ca imagine în oglindă fără a traversa o dreaptă de oglindire.

Un șir scris cu aldine (litere „negre”) reprezintă un grup de simetrii ale spațiului tridimensional euclidian. Un șir care nu este scris cu caractere aldine reprezintă un grup de simetrii ale planului euclidian, care se presupune că conține două translații independente.

Fiecare simbol corespunde unei transformări distincte:

• un număr întreg n la stânga unui asterisc indică o rotație de ordinul n în jurul unui punct;
• un număr întreg n la dreapta unui asterisc indică o transformare de ordinul 2n care se rotește în jurul unui punct caleidoscopic și se reflectă față de o dreaptă (sau plan);
• simbolul $\times$ indică o reflexie translată;
• simbolul $\mathrm{\infty }$ indică o simetrie de rotație infinită în jurul unei drepte; poate apărea numai la grupurile notate cu aldine (prin abuz de limbaj, s-ar putea spune că un astfel de grup este un subgrup de simetrii ale planului euclidian cu o singură translație independentă — grupurile de frize apar în acest fel);
• simbolul excepțional o indică faptul că există exact două translații liniar independente.

Simboluri orbifold bune

Despre un simbol orbifold se spune că e bun dacă nu este unul dintre următoarele: p, pq, *p, *pq, pentru p, q ≥ 2 și p ≠ q.

Chirale și achirale

Un obiect este chiral dacă grupul său de simetrie nu conține reflexii; altfel se numește achiral. Orbifoldul corespunzător este orientabil în cazul chiral și neorientabil în caz contrar.

Caracteristica Euler și ordinul

Caracteristica Euler a unui orbifold poate fi citită din simbolul său Conway, după cum urmează. Fiecare semn are o valoare:

• n fără sau înainte de un asterisc contează drept $\frac{n-1}{n}$;
• n după un asterisc contează drept $\frac{n-1}{2n}$;
• asteriscul și $\times$ contează drept 1;
• o contează drept 2.

Se face suma valorilor acestor caracteristici.

Caracteristica Euler se obține scăzând din 2 suma valorilor caracteristicilor de mai sus. Dacă această sumă este 2, ordinul este infinit, adică notația reprezintă un grup de tapet sau un grup de friză. „Teorema magică” a lui Conway indică faptul că cele 17 grupuri de tapet sunt exact acelea cu suma valorilor caracteristicilor egală cu 2. În caz contrar, ordinul este 2 împărțit la caracteristica Euler.

Grupuri egale

Următoarele grupuri sunt izomorfe:

• 1* și *11
• 22 și 221
• *22 și *221
• 2* și 2*1.

Acest lucru se datorează faptului că rotația „de 1 ori” este rotația „vidă” (poziția inițială).

Grupuri bidimensionale

Format:Imagine multiplă Simetria unui obiect bidimensional fără simetrie de translație poate fi descrisă prin tipul de simetrie tridimensională prin adăugarea unei a treia dimensiuni la obiect care nu adaugă sau nu strica simetria. De exemplu, pentru o imagine bidimensională se poate considera o cutie de carton cu acea imagine afișată pe o parte; forma cutiei trebuie să fie astfel încât să nu strice simetria sau poate fi imaginată a fi infinită. Astfel se obține n• și *n•. • se adaugă la grupurile unidimensionale și bidimensionale pentru a indica existența unui punct fix. (În tridimensional aceste grupuri există într-un orbifold digonal cu n poziții și sunt reprezentate drept nn și *nn.)

Similar, o imagine unidimensională poate fi desenată orizontal pe o bucată de carton, cu grija de a evita simetria suplimentară în raport cu dreapta care conține imaginea, de exemplu prin desenarea unei bare orizontale sub imagine. Astfel, grupurile de simetrie discretă în spațiul unidimensional sunt *•, *1•, ∞• și *∞•.

O altă metodă de a construi un obiect tridimensional dintr-un obiect unidimensional sau bidimensional pentru a descrie simetria este prin produsul cartezian dintre obiect și un obiect unidimensional sau bidimensional asimetric.

Tabele de corespondențe

Sferică

Format:Nowrap

(*11), C1v = Cs	(*22), C2v	(*33), C3v	(*44), C4v	(*55), C5v	(*66), C6v
Ordin 2	Ordin 4	Ordin 6	Ordin 8	Ordin 10	Ordin 12
(*221), D1h = C2v	(*222), D2h	(*223), D3h	(*224), D4h	(*225), D5h	(*226), D6h
Ordin 4	Ordin 8	Ordin 12	Ordin 16	Ordin 20	Ordin 24
(*332), Td		(*432), Oh		(*532), Ih
Ordin 24		Ordin 48		Ordin 120

Grupuri de simetrie sferică

Orbifold	Coxeter	Schönflies	Herm.–Maug.	Ordin
Grupuri poliedrice
*532	[3,5]	Ih	53m	120
532	[3,5]+	I	532	60
*432	[3,4]	Oh	m3m	48
432	[3,4]+	O	432	24
*332	[3,3]	Td	Format:Overline3m	24
3*2	[3+,4]	Th	m3	24
332	[3,3]+	T	23	12
Grupuri diedrale și ciclice: n = 3, 4, 5 ...
*22n	[2,n]	Dnh	n/mmm sau 2Format:Overlinem2	4n
2*n	[2+,2n]	Dnd	2Format:Overline2m sau Format:Overlinem	4n
22n	[2,n]+	Dn	n2	2n
*nn	[n]	Cnv	nm	2n
n*	[n+,2]	Cnh	n/m sau 2Format:Overline	2n
n×	[2+,2n+]	S2n	2Format:Overline sau Format:Overline	2n
nn	[n]+	Cn	n	n
Cazuri particulare
*222	[2,2]	D2h	2/mmm sau 2Format:Overlinem2	8
2*2	[2+,4]	D2d	2Format:Overline2m sau Format:Overlinem	8
222	[2,2]+	D2	22	4
*22	[2]	C2v	2m	4
2*	[2+,2]	C2h	2/m sau 2Format:Overline	4
2×	[2+,4+]	S4	2Format:Overline sau Format:Overline	4
22	[2]+	C2	2	2
*22	[1,2]	D1h = C2v	1/mmm sau 2Format:Overlinem2	4
2*	[2+,2]	D1d = C2h	2Format:Overline2m sau Format:Overlinem	4
22	[1,2]+	D1 = C2	12	2
*1	[ ]	C1v = Cs	1m	2
1*	[2,1+]	C1h = Cs	1/m sau 2Format:Overline	2
1×	[2+,2+]	S2 = Ci	2Format:Overline sau Format:Overline	2
1	[ ]+	C1	1	1

Planul euclidian

Grupuri de tapet

Domeniile fundamentale ale grupurilor de reflexie euclidiene

(*442), p4m	(4*2), p4g
(*333), p3m	(632), p6

17 grupuri de tapet

Orbifold	Coxeter	Hermann Mauguin	Speiser Niggli	Polya Guggenhein	Fejes Toth Cadwell
*632	[6,3]	p6m	C(I)6v	D6	W16
632	[6,3]+	p6	C(I)6	C6	W6
*442	[4,4]	p4m	C(I)4	D*4	W14
4*2	[4+,4]	p4g	CII4v	Do4	W24
442	[4,4]+	p4	C(I)4	C4	W4
*333	[3[3]]	p3m1	CII3v	D*3	W13
3*3	[3+,6]	p31m	CI3v	Do3	W23
333	[3[3]]+	p3	CI3	C3	W3
*2222	[∞,2,∞]	pmm	CI2v	D2kkkk	W22
2*22	[∞,2+,∞]	cmm	CIV2v	D2kgkg	W12
22*	[(∞,2)+,∞]	pmg	CIII2v	D2kkgg	W32
22×	[∞+,2+,∞+]	pgg	CII2v	D2gggg	W42
2222	[∞,2,∞]+	p2	C(I)2	C2	W2
**	[∞+,2,∞]	pm	CIs	D1kk	W21
*×	[∞+,2+,∞]	cm	CIIIs	D1kg	W11
××	[∞+,(2,∞)+]	pg	CII2	D1gg	W31
o	[∞+,2,∞+]	p1	C(I)1	C1	W1

Planul hiperbolic

Modelul discului Poincaré al domeniului fundamental al Format:Ill-wd

Exemple cu triunghiuri dreptunghice (*2pq)
*237	*238	*239	*23∞
*245	*246	*247	*248	*∞42
*255	*256	*257	*266	*2∞∞
Exemple cu triunghiuri oarecare (*pqr)
*334	*335	*336	*337	*33∞
*344	*366	*3∞∞	*63	*∞3
Example cu poligoane superioare (*pqrs...)
*2223	*(23)2	*(24)2	*34	*44
*25	*26	*27	*28
*222∞	*(2∞)2	*∞4	*2∞	*∞∞

Primele câteva grupuri hiperbolice, ordonate după caracteristica lor Euler sunt:

Grupuri cu simetrie hiperbolică

−1/χ	Orbifold	Coxeter
84	*237	[7,3]
48	*238	[8,3]
42	237	[7,3]+
40	*245	[5,4]
36–26.4	*239, *2 3 10	[9,3], [10,3]
26.4	*2 3 11	[11,3]
24	*2 3 12, *246, *334, 3*4, 238	[12,3], [6,4], [(4,3,3)], [3+,8], [8,3]+
22.3–21	*2 3 13, *2 3 14	[13,3], [14,3]
20	*2 3 15, *255, 5*2, 245	[15,3], [5,5], [5+,4], [5,4]+
19.2	*2 3 16	[16,3]
Format:Frac	*247	[7,4]
18	*2 3 18, 239	[18,3], [9,3]+
17.5–16.2	*2 3 19, *2 3 20, *2 3 21, *2 3 22, *2 3 23	[19,3], [20,3], [20,3], [21,3], [22,3], [23,3]
16	*2 3 24, *248	[24,3], [8,4]
15	*2 3 30, *256, *335, 3*5, 2 3 10	[30,3], [6,5], [(5,3,3)], [3+,10], [10,3]+
Format:Frac–Format:Frac	*2 3 36 ... *2 3 70, *249, *2 4 10	[36,3] ... [60,3], [9,4], [10,4]
Format:Frac	*2 3 66, 2 3 11	[66,3], [11,3]+
Format:Frac	*2 3 105, *257	[105,3], [7,5]
Format:Frac	*2 3 132, *2 4 11 ...	[132,3], [11,4], ...
12	*23∞, *2 4 12, *266, 6*2, *336, 3*6, *344, 4*3, *2223, 2*23, 2 3 12, 246, 334	[∞,3] [12,4], [6,6], [6+,4], [(6,3,3)], [3+,12], [(4,4,3)], [4+,6], [∞,3,∞], [12,3]+, [6,4]+ [(4,3,3)]+
...

Bibliografie

• Format:En icon John H. Conway, Olaf Delgado Friedrichs, Daniel H. Huson, and William P. Thurston. On Three-dimensional Orbifolds and Space Groups. Contributions to Algebra and Geometry, 42(2):475-507, 2001.
• Format:En icon J. H. Conway, D. H. Huson. The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups. Structural Chemistry, 13 (3-4): 247–257, August 2002.
• Format:En icon J. H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447
• Format:En icon John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, Format:Isbn
• Format:Citation

Legături externe

• Format:En icon A field guide to the orbifolds Format:Webarchive (Notes from class on "Geometry and the Imagination" Format:Webarchive in Minneapolis, with John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston, on June 17–28, 1991. See also PDF, 2006)
• Format:En icon Tegula Software for visualizing two-dimensional tilings of the plane, sphere and hyperbolic plane, and editing their symmetry groups in orbifold notation