N-uplu diofantic

Format:Titlu corect În matematică, un n-uplu diofantic este un ansamblu de n numere întregi pozitive $\{a_1,a_2,a_3,a_4,\dots ,a_n\}$ astfel încât $a_i{a}_j+1$ este un pătrat perfect pentru orice $1\le i<j\le n$. O mulțime de n numere raționale pozitive cu proprietatea că produsul oricăror două este cu o unitate mai puțin decât un pătrat rațional este cunoscut ca un n-uplu diofantic rațional.

Primul cvadruplet diofantic a fost găsit de către Fermat: $\{1,3,8,120\}$. Baker și Davenport au dovedit în 1969 că un al cincilea număr întreg pozitiv nu poate fi adăugat la acest tuplu. Cu toate acestea, Euler a fost capabil de a extinde acest tuplu prin adăugarea unui număr rațional $\frac{777480}{8288641}$.

Întrebarea privitor la existența unui cvintuplu diofantin (întreg) era una dintre cele mai vechi probleme nerezolvate din teoria numerelor. În 2004 Andrej Dujella a arătat că există cel mult un număr finit de asemenea tupluri există. În 2016 a fost propusă o soluție de He, Togbé și Ziegler, soluție ce este încă verificată de alți matematicieni.

Cazul rațional

Diofant însuși a găsit un cvadruplet $\{\frac{1}{16},\frac{33}{16},\frac{17}{4},\frac{105}{16}\}$. Mai recent, Philip Gibbs a găsit mulțimi de șase numere rationale pozitive cu această proprietate. Nu se știe dacă există n-upluri diofantice mai mari sau dacă există o limită superioară, dar este cunoscut faptul că nu există nicio mulțime infinită de numere raționale cu proprietatea aceasta.

Legături externe

• Paginile lui Andrej Dujella despre n-upluri diofantice