Inegalitatea lui Jordan

Format:Fără introducere Inegalitățile geometrice au fost tratate cu mare interes în ultimii aniFormat:Care.

Inegalitatea lui Jordan a fost și ea în centrul acestor studii.

$\frac{2}{\pi }x\le sinx$ , unde $0\le x\le \frac{\pi }{2}$

S-au demonstrat multe rafinări ale acestei inegalități. Următoarea relație a fost demonstrată și a fost utilizată în literatura de specialitate.

$\frac{1+cosx}{2}<\frac{sinx}{x}<cos\frac{x}{2}$, unde $0<x<\frac{\pi }{2}$

O inegalitate celebră, aflată în legătură cu inegalitatea lui Jordan, este inegalitatea lui Kober

$cosx\ge 1-\frac{2}{\pi }x$ , $0\le x\le \frac{\pi }{2}$.

Deși această relație poate fi demonstrată luând în considerare proprietatea de monotonie a funcției

$\frac{1-cosx}{x}$ ,

se observă că, folosind substituția $x\to \frac{\pi }{2}-x$, rezultă inegalitatea lui Jordan.

Aplicația

$g(x)=\frac{sinx}{x}$, unde $0<x\le \frac{\pi }{2}$, $g(0)=1$,

este strict concavă pe intervalul $[0,\frac{\pi }{2}]$.

Dacă graficul liniei care trece prin punctele $A(0,1)$ și $B(\frac{\pi }{2},\frac{2}{\pi })$, care aparțin graficului funcției g, este sub graficul funcției g, se obține

$\frac{sinx}{x}\ge 1+\frac{2(2-\pi )}{{\pi }^2}x$.

Aceasta este o variantă îmbunătățită a inegalității lui Jordan deoarece această relație poate fi scrisă și sub forma

$\frac{2}{\pi }+\frac{\pi -2}{{\pi }^2}(\pi -2x)\ge \frac{2}{\pi }$.

Scriind că linia tangentă graficului de funcție g în punctul B, prin concavitatea lui g (deoarece g este concavă), se obține

$\frac{sinx}{x}\le \frac{4}{\pi }-\frac{4x}{{\pi }^2}$.

O demonstrație a inegalității lui Jordan

$\frac{sinx}{x}\le \frac{2}{x}$, unde $x\in (0,\frac{\pi }{2}]$

poate fi găsită în monografia lui D.S. Mitrinović și P.M. Vasić, Analytic Inequalities.

Dan Coma, în lucrarea Grafice de funcții și inegalități, face o nouă demonstrație a inegalității lui Jordan, de natură pur geometrică, fără folosirea derivatelor. Unicul element necesar este graficul funcției sinus pe intervalul $[0,\frac{\pi }{2}]$ și acceptarea intuitivă a faptului că funcția este concavă pe acest interval.

Bibliografie

• A. Vernescu, D. Coma, O demonstrație elementară a inegalității lui Jordan, Gazeta matematică-A, Nr. 2/2008, pag. 128-130
• J. Sándor, Trigonometric and hyperbolic inequalities,arXiv:1105.0859v1[math.CA], mai 2011