Inegalitatea Popoviciu pentru varianță

În teoria probabilităților, inegalitatea Popoviciu, numită după Tiberiu Popoviciu, este o margine superioară a varianței σ² oricărei distribuții de probabilitate mărginite. Fie M și m marginile superioară și inferioară ale valorilor oricărei variabile aleatoare cu o anumită distribuție de probabilitate. Atunci ingealitatea Popoviciu este:

${\sigma }^2\le \frac{1}{4}(M-m{)}^2.$

Această inegalitate este precisă atunci când o jumătate din probabilitate este concentrată în apropierea uneia dintre cele două margini.

Sharma et al au îmbunătățit inegalitatea Popoviciu:

${\sigma }^2+{\left(\frac{\text{Al treilea moment central}}{2{\sigma }^2}\right)}^2\le \frac{1}{4}(M-m{)}^2.$

Dacă mărimea eșantionului este finită atunci inegalitatea von Szokefalvi Nagy dă o margine inferioară a varianței

${\sigma }^2\ge \frac{(M-m{)}^2}{2n}$

unde n este mărimea eșantionului.

Inegalitatea Popoviciu este mai slabă decât inegalitatea Bhatia–Davis care arată că

${\sigma }^2\le (M-\mu )(\mu -m)$

unde μ este așteptarea pentru variabila aleatoare.

O margine inferioară a varianței bazată pe inegalitatea Bhatia–Davis a fost descoperită de Agarwal et al

$(M-\mu )(\mu -m)-\frac{(M-m{)}^3}{6}\le {\sigma }^2$

Note

Format:Ciot-statistică