Funcție algebrică de gradul întâi

Funcția de gradul întâi este o funcție algebrică elementară, exprimată printr-o expresie algebrică binom de gradul întâi.

Noțiuni introductive

Definiție

Fie o funcție $f:\mathrm{\Re }\to \mathrm{\Re },f(x)=ax+b,a,b\in \mathrm{\Re }$ , aceasta se numește funcție afină. Dacă $a\ne 0,$ atunci $f$ se numește funcție de gradul întâi de coeficienți $a,b$. Dacă $a\ne 0,b=0$ atunci $f$ se numește funcție liniară $(f(x)=ax)$ . Dacă $a=0$ atunci $f$ se numește funcție constantă $(f(x)=b).$

Pentru funcția de gradul întâi, $ax$ se numește termenul de gradul întâi , iar $b$ , termenul liber al funcției. O ecuație de forma $ax+b=0$ se numește ecuația atașată funcției $f.$

Observații

1. Funcția $f:\mathrm{\Re }\to \mathrm{\Re },f(x)=ax+b,a\ne 0$ se numește funcția de gradul întâi deoarece este funcția asociată polinomului de gradul întâi cu coeficienți reali $ax+b$ .
2. Funcția de gradul întâi este bine determinată dacă se cunosc coeficienții $a,b\in \mathrm{\Re }$.

Exemple

1. Funcția $f:\mathrm{\Re }\to \mathrm{\Re },f(x)=-3x+\sqrt{5}$ este funcție de gradul întâi cu coeficienții $a=-3,b=\sqrt{5}$.
2. Funcția $f:\mathrm{\Re }\to \mathrm{\Re },f(x)=4x$ este funcție liniară cu $a=4,$ $b=0$.
3. Funcția $f:\mathrm{\Re }\to \mathrm{\Re },f(x)=3$ este funcție constantă când $a=0,$ $b=3$.

Monotonia funcției de gradul întâi

Relativ la monotonia acestei funcții are loc următoarea teoremă:

Teoremă

Funcția de gradul întâi $f:\mathrm{\Re }\to \mathrm{\Re },f(x)=ax+b,a\ne 0$ este:

1. strict crescătoare dacă $a>0,$ iar tabelul de variație a funcției este:

$x$	$-\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }$
$f(x)$	$-\mathrm{\infty }\nearrow \nearrow +\mathrm{\infty }$

2. strict descrescătoare dacă $a<0,$ iar tabelul de variație a funcției este:

$x$	$-\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }$
$f(x)$	$-\mathrm{\infty }\searrow \searrow +\mathrm{\infty }$

Demonstrație

Pentru a proba monotonia funcției se va utiliza rata creșterii (descreșterii) lui $f$, $R(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{a{x}_2+b-(a{x}_1+b)}{x_2-x_1}=\frac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a$ pentru $x_1\ne x_2$ . Dacă $a>0$ atunci $f$ este strict crescătoare, iar dacă $a<0,$, atunci $f$ este strict descrescătoare.

Observații

1. Semnul lui $a$ precizează monotonia funcției de gradul întâi.
2. Ecuația $y=ax+b$ reprezintă o dreaptă de pantă $a\ne 0$ (o dreaptă oblică neparalelă cu axa $Ox$ sau cu axa $Oy$ ).

Bibliografie

1. "Matematica TC+CD" - manual de clasa a IX-a, I.V.Maftei, A.V.Mihai, M.A. Nicolescu, C.P. Nicolescu - Ed. UNIVERSAL PAN, Ed. NEDION, București, 2004
2. "Matematica TC+CD" - manual de clasa a IX-a, M. Ganga, Ed. MATHPRESS, Ploiești, 2008