Fracție continuă

În matematică, o fracție continuă este o expresie obținută în urma unui proces iterativ de reprezentare a unui număr ca suma unor numere întregi și inverse ale unor întregi.

Este de forma:

$x=a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\dots }}},$

unde $a_0,a_1,\dots$ și $b_1,b_2,\dots$ sunt numere întregi.

Acest tip de fracții au fost considerate pentru prima dată de către Wallis în lucrarea sa, Arithmetica infinitorum din 1653.

Orice $x\in ℝ$ se poate reprezenta ca o fracție continuă:

$x=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\dots }}=[a_0;a_1,a_2,\dots ],$

unde $a_0\in \mathbb{Z}$ și $a_i\in \mathbb{N}$ pentru orice $i\ge 1.$

Numerele raționale se reprezintă ca fracții continue finite, folosind algoritmul lui Euclid. O fracție continuă infinită se numește periodică dacă există numerele naturale nenule $k,m$ astfel ca $a_{k+i+j}=a_{k+j},\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }j\in \{1,2,\dots ,m\}.$ În acest caz, fracția continuă se reprezintă sub forma

$[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_k,\overline{a_{k+1}},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}].$

O rădăcină reală irațională a unui polinom de gradul doi din $\mathbb{Z}[X]$ se numește irațională pătratică. Un număr real se reprezintă printr-o fracție continuă dacă și numai dacă este o irațională pătratică (Euler, Lagrange). Dacă $r\in \mathbb{Q},r>1,$ nu este un pătrat perfect, atunci:

$\sqrt{r}=[a_0;\overline{a_1,a_2,\dots a_2,a_1,2a_0}],$

(Lagrange, Galois). În particular, dacă $D\in {\mathbb{N}}^{*}$ este liber de pătrate, atunci $\sqrt{D}$ se reprezintă printr-o fracție continuă, având perioada de lungime m, astfel încât primele $m-1$ câturi parțiale formează un șir palindromic.

Lungimea $l(\sqrt{D})$ a perioadei fracției continue care reprezintă pe $\sqrt{D}$ este mai mică decât $2D,$ iar câturile parțiale sunt mai mici decât $2\sqrt{D}$ (Lagrange). Mai recent s-a arătat că $l(\sqrt{D})=𝒪(\sqrt{D}\ln D),$ unde simbolul $𝒪$ înseamnă asimptotic proporțional cu.