Ecuațiile Kirchhoff

În mecanica fluidelor ecuațiile Kirchhoff, numite astfel după Gustav Kirchhoff, descriu mișcarea unui corp rigid într-un fluid ideal.

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \overrightarrow{\omega }}& =\frac{\partial T}{\partial \overrightarrow{\omega }}\times \overrightarrow{\omega }+\frac{\partial T}{\partial \overrightarrow{v}}\times \overrightarrow{v}+{\overrightarrow{Q}}_h+\overrightarrow{Q},\\ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \overrightarrow{v}}& =\frac{\partial T}{\partial \overrightarrow{v}}\times \overrightarrow{\omega }+{\overrightarrow{F}}_h+\overrightarrow{F},\\ T& =\frac{1}{2}({\overrightarrow{\omega }}^T\tilde{I}\overrightarrow{\omega }+m{v}^2)\\ {\overrightarrow{Q}}_h& =-\int p\overrightarrow{x}\times \hat{n}d\sigma ,\\ {\overrightarrow{F}}_h& =-\int p\hat{n}d\sigma \end{array}$

unde $\overrightarrow{\omega }$ și $\overrightarrow{v}$ sunt vectorii viteză unghiulară și liniară în punctul $\overrightarrow{x}$;

$\tilde{I}$ este tensorul momentului de inerție;

$m$ este masa corpului;

$\hat{n}$ este o unitate normală la suprafața corpului în punctul $\overrightarrow{x}$;

$p$ este o presiune în acest moment;

${\overrightarrow{Q}}_h$ și ${\overrightarrow{F}}_h$ sunt momentul și respectiv forța hidrodinamică care acționează asupra corpului;

$\overrightarrow{Q}$ și $\overrightarrow{F}$ sunt toate celelalte momente, respectiv forțe care acționează asupra corpului.

Integrarea se realizează peste porțiunea suprafeței corpului expusă fluidului.

Dacă corpul este complet scufundat într-un volum infinit de mare de fluid irotațional, incompresibil, inviscid, care la infinit este în repaus, atunci vectorii ${\overrightarrow{Q}}_h$ și ${\overrightarrow{F}}_h$ pot fi obținuți prin integrare explicită, iar dinamica corpului este descrisă de ecuațiile Kirchhoff–Clebsch:

$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{\omega }}=\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{\omega }}\times \overrightarrow{\omega }+\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v}}\times \overrightarrow{v},\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v}}=\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v}}\times \overrightarrow{\omega },$

$L(\overrightarrow{\omega },\overrightarrow{v})=\frac{1}{2}(A\overrightarrow{\omega },\overrightarrow{\omega })+(B\overrightarrow{\omega },\overrightarrow{v})+\frac{1}{2}(C\overrightarrow{v},\overrightarrow{v})+(\overrightarrow{k},\overrightarrow{\omega })+(\overrightarrow{l},\overrightarrow{v}).$

Prin integrare se obține:

$J_0=(\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{\omega }},\overrightarrow{\omega })+(\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v}},\overrightarrow{v})-L,J_1=(\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{\omega }},\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v}}),J_2=(\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v}},\frac{\partial L}{\partial \overrightarrow{v}}).$

Prin integrare ulterioară se obțin expresii explicite pentru poziție și viteze.

Bibliografie

• Format:De icon Kirchhoff G. R. Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik. Lecture 19. Leipzig: Teubner. 1877.
• Format:En icon Lamb, H., Hydrodynamics. Sixth Edition Cambridge (UK): Cambridge University Press. 1932.