Ecuația forței vii

În mecanica spațială, ecuația forței vii (în Format:Fr, iar în Format:En) este o ecuație importantă a mișcării corpurilor pe orbită. Este rezultatul legii conservării energiei potrivit căreia suma energiilor cinetice și potențiale este constantă în orice punct al orbitei.

Ecuația forței vii

Ecuația forței vii^[1] este definită de:

v = \sqrt{G M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})}

unde:

$v$ este viteza relativă a celor două corpuri;
$r$ este distanța dintre cele două corpuri;
$a$ este semiaxa majoră;
$G$ este constanta gravitațională;
$M$ este masa corpului central.

Notă: produsul $G M$ poate fi notat și cu litera grecească μ. Totuși, nu trebuie să se confunde această notație a $G M$ cu masa redusă μ, explicitată mai jos.

Demonstrație

Energia orbitală totală este suma energiilor potențiale comune și a energiei cinetice a celor două corpuri considerate

E = \frac{- G m_{1} m_{2}}{r} + \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} v_{2}^{2}}{2}

unde:

$v_{1}$ este viteza corpului 1 relativă la centrul de gravitație al celor două corpuri.
$v_{2}$ este viteza corpului 2 relativă la centrul de gravitate al celor două corpuri.

Energia orbitală poate fi calculată folosind doar cantități relative

E = \frac{- G_{1} m_{2}}{r} + μ \frac{v^{2}}{2}

unde:

$v$ este viteza relativă a celor două corpuri.
$μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ este masa redusă.

Pentru orbitele circulare și eliptice, energia totală este dată mai precis

E = \frac{- G m_{1} m_{2}}{2 a}

.

Împărțirea totalului energiei prin masa redusă dă energia vis-viva, cunoscută mai ales ca energie orbitală specifică

ϵ = \frac{v^{2}}{2} - \frac{G (m_{1} + m_{2})}{r}

.

Pentru orbitele circulare și eliptice

ϵ = \frac{- G (m_{1} + m_{2})}{2 a}

.

Din precedentele ecuații, se obține ecuația forței vii:

v^{2} = G (m_{1} + m_{2}) (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})

.

Aplicații

Pornind de la r și v într-un punct al orbitei, este posibil să se calculezer și v în orice punct al orbitei. ^[2].

De asemenea, pornind de la r și v într-un punct al orbitei, energia orbitală specifică $ϵ$ poate fi calculată, ceea ce permite să se determine dacă un obiect care orbitează în jurul unuia mai mare are suficientă energie pentru a rămâne pe orbită.

Note

↑ Format:En icon T. Logsdon, Orbital Mechanics: theory and applications, John Wiley & Sons, 1998
↑ Pentru problema a trei corpuri, conservarea energiei nu reduce decât cu 1 numărul, mai mare, al gradelor de libertate.

Bibliografie

Format:Cite book

Vezi și

Forța vie

Format:Portal

[1] Format:En icon T. Logsdon, Orbital Mechanics: theory and applications, John Wiley & Sons, 1998

[2] Pentru problema a trei corpuri, conservarea energiei nu reduce decât cu 1 numărul, mai mare, al gradelor de libertate.

[1]

[2]

Ecuația forței vii

Cuprins