Derivarea unui raport

În calculul diferențial derivarea unui raport de funcții este formula folosită pentru a găsi derivata raportului a două funcții derivabile. Fie $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, unde ambele  Format:Mvar și Format:Mvar sunt derivabile, iar $g(x)\ne 0.$ Regula derivării unui raport afirmă că derivata lui Format:Math este

$h^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

Regula poate fi demonstrată în mai multe feluri folosind alte Format:Ill-wd.

Exemple

Exemplul 1: Exemplu tipic

Fie $h(x)=\frac{e^x}{x^2}$ și $f(x)=e^x,g(x)=x^2.$ Folosind regula derivării raportului se obține:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x^2}\right)& =\frac{\left(\frac{d}{dx}{e}^x\right)(x^2)-(e^x)\left(\frac{d}{dx}{x}^2\right)}{(x^2{)}^2}\\ & =\frac{(e^x)(x^2)-(e^x)(2x)}{x^4}\\ & =\frac{x^2{e}^x-2x{e}^x}{x^4}\\ & =\frac{x{e}^x-2e^x}{x^3}\\ & =\frac{e^x(x-2)}{x^3}.\end{array}$

Exemplul 2: Derivarea funcției tangentă trigonometrică

Regula derivării raportului poate fi folosită pentru calculul derivatei lui $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ astfel:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\tan x& =\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\\ & =\frac{(\frac{d}{dx}\sin x)(\cos x)-(\sin x)(\frac{d}{dx}\cos x)}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x.\end{array}$

Derivarea inversei unei funcții

Format:Articol principal Regula Derivării inversei unei funcții este un caz particular al regulii derivării unui raport, în care numărătorul $f(x)=1.$ Aplicarea regulii derivării raportului dă:

$h^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=\frac{0\cdot g(x)-1\cdot g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}=-\frac{g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}$

Folosind regula derivării funcțiilor compuse se obține același rezultat.

Demonstrații

Prin limită ca definiție a derivatei

Fie $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$ Aplicarea definiției derivatei și proprietăților limitelor oferă următoarea demonstrație, cu termenul $f(x)g(x)$ adăugat și scăzut pentru a permite împărțirea și factorizarea în pașii următori fără a afecta valoarea:

$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }(x)& =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{h(x+k)-h(x)}{k}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x+k)}{g(x+k)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{k}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}\cdot \underset{k\to 0}{\lim }\frac{1}{g(x)g(x+k)}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}\right]\cdot \frac{1}{[g(x){]}^2}\\ & =[\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}-\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}]\cdot \frac{1}{[g(x){]}^2}\\ & =[\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\cdot g(x)-f(x)\cdot \underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)-g(x)}{k}]\cdot \frac{1}{[g(x){]}^2}\\ & =\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}.\end{array}$

Evaluarea limitei $\underset{k\to 0}{\lim }\frac{1}{g(x+k)g(x)}=\frac{1}{[g(x){]}^2}$ este justificată de derivabilitatea lui $g(x),$ implicând continuitatea, care poate fi exprimată ca: $\underset{k\to 0}{\lim }g(x+k)=g(x)$

Prin derivarea implicită

Fie $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},$ astfel încât $f(x)=g(x)h(x).$

Regula derivării produsului este $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)h(x)+g(x)h^{\prime }(x).$

Calculând $h^{\prime }(x)$ și substituind înapoi în $h(x)$ se obține:

$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }(x)& =\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)h(x)}{g(x)}\\ & =\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\cdot \frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)}\\ & =\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}.\end{array}$

Prin derivarea inversei sau a funcțiilor compuse

Fie $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}.$

Atunci regula derivării produsului este $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right].$

Pentru a calcula derivata din al doilea termen, se aplică regula derivării inversei unei funcții împreună cu regula derivării funcțiilor compuse:

$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=-\frac{1}{g(x{)}^2}\cdot g^{\prime }(x)=\frac{-g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$

Substituind rezultatul în expresia lui $h^{\prime }(x)$ se obține:

$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }(x)& =f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot \left[\frac{-g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}\right]\\ & =\frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}\\ & =\frac{g(x)}{g(x)}\cdot \frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}\\ & =\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.\end{array}$

Prin derivata logaritmică

Fie $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$

Luând valoarea absolută și logaritmul natural al ambilor membri se obține

$\ln |h(x)|=\ln \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$

Se aplică proprietățile valorii absolute și ale logaritmilor,

$\ln |h(x)|=\ln |f(x)|-\ln |g(x)|$

Se efectuează Format:Ill-wd a ambilor membri,

$\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}-\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$

Se calculează $h^{\prime }(x)$ și se substituie înapoi în $\frac{f(x)}{g(x)}.$ Pentru $h(x)$ se obține:

$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }(x)& =h(x)[\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}-\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}]\\ & =\frac{f(x)}{g(x)}[\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}-\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}]\\ & =\frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}\\ & =\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.\end{array}$

La derivata logaritmică este necesară luarea valorii absolute a funcțiilor care pot avea valori negative, deoarece logaritmii sunt doar funcții reale pentru argumente pozitive. Acest lucru funcționează pentru că $\frac{d}{dx}(\ln |u|)=\frac{u^{\prime }}{u},$ ceea ce justifică luarea valorii absolute a funcțiilor pentru derivata logaritmică.

Derivate de ordin superior

Derivarea implicită poate fi utilizată pentru a calcula derivata de ordinul al Format:Mvar-lea a unui raport (parțial în funcție de primele sale Format:Math derivate). De exemplu, derivând $f=gh$ de două ori (rezultând $f^{″}=g^{″}h+2g^{\prime }{h}^{\prime }+g{h}^{″}$) și apoi calculând $h^{″}$ rezultă:

$h^{″}=\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{″}-g^{″}h-2g^{\prime }{h}^{\prime }}{g}.$

Vezi și

• Derivarea funcțiilor compuse
• Derivarea inversei unei funcții
• Derivarea unui produs
• Identitățile calculului vectorial