Criteriul radicalului (Cauchy)

În matematică, criterul radicalului (Cauchy) se aplică pentru determinarea naturii seriei

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$

Este foarte folositor atunci când se aplică seriilor exponențiale. Acest criteriu a fost creat de Cauchy, de aceea mai este numit și criteriul Cauchy. Criteriul radicalului folosește numărul

$C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\sqrt[n]{|a_n|},$

unde "lim sup" înseamnă limită superioară.

Criteriul radicalului spune că:

• Dacă C < 1 atunci seria este absolut convergentă.
• Dacă C > 1 atunci seria este divergentă.

Daca C = 1, criteriul nu este suficient pentru a dertermina naturii seriei.

Exemplu

Seria $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{n^2}$ este divergentă deoarece $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\sqrt[n]{a}}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n=e>1.$