Criteriul Kummer

Enunț:

Fie $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ o serie numerică cu termeni pozitivi. Dacă există un șir de numere reale pozitive $(b_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$, o constantă $\alpha >0$ și un număr natural $N$ așa încât $c_n=\frac{a_n}{a_{n+1}}{b}_n-b_{n+1}\ge \alpha ,\mathrm{\forall }n\ge N$ atunci seria $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ este convergentă, altfel dacă $c_n\le 0,\mathrm{\forall }n\ge N$ și $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b_n}$ este divergentă, atunci $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ este divergentă.

Demonstrație:

Demonstrăm prima parte: $\frac{a_n}{a_{n+1}}{b}_n-b_{n+1}\ge \alpha ,\mathrm{\forall }n\ge N⟺a_n{b}_n-a_{n+1}{b}_{n+1}\ge \alpha a_{n+1},\mathrm{\forall }n\ge N$ unde am ținut cont că $a_{n+1}>0$. Din această inegalitate deducem: $\sum _{n=N}^{N+p-1}(a_n{b}_n-a_{n+1}{b}_{n+1})\ge \alpha \sum _{n=N}^{N+p-1}{a}_{n+1}⟺a_N{b}_N-a_{N+p}{b}_{N+p}\ge \alpha (a_{N+1}+...+a_{N+p})⟺a_N{b}_N-a_{N+p}{b}_{N+p}\ge \alpha (s_{N+p}-s_N)$ unde $s_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$. Din ultima inegalitate deducem $s_{N+p}-s_N\le \frac{1}{\alpha }(a_N{b}_N-a_{N+p}{b}_{N+p})\le \frac{1}{\alpha }{a}_N{b}_N⟹s_{N+p}\le s_N+\frac{1}{\alpha }{a}_N{b}_N,\mathrm{\forall }p\in {\mathbb{N}}^{*}$ Acest rezultat arată că $(s_n)$ este un șir mărginit superior iar din faptul că $a_n>0,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}$ si $s_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$. deduceam că $(s_n)$ este crescător. Din teorema lui Weierstarss avem că $(s_n)$ este convergent și deci $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ este convergentă.Demonstrăm acum partea a doua.Dacă $c_n\le 0,\mathrm{\forall }n\ge N⟹a_n{b}_n-a_{n+1}{b}_{n+1}\le 0,\mathrm{\forall }n\ge N⟺\frac{\frac{1}{b_{n+1}}}{\frac{1}{b_n}}\le \frac{a_{n+1}}{a_n},\mathrm{\forall }n\ge N$. Din al doilea criteriu al comparației și ținând cont că $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b_n}$ este divergentă avem că $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ este divergentă.