CUSUM

În controlul statistic al proceselor, CUSUM (sau diagrama de sumă cumulativă) este o tehnică de analiză secvențială dezvoltată de E.S. Page de la Universitatea din Cambridge. Aceasta este de obicei folosită pentru monitorizarea și detectarea schimbărilor. CUSUM a fost publicată în jurnalul Format:Ill-wd, în 1954, la câțiva ani după publicarea algoritmului Format:Ill-wd de către Wald.

Page menționa un „număr de calitate” $\theta$$\theta$$\theta$, care reprezenta un parametru al distribuției de probabilitate, de exemplu, media. El a conceput CUSUM ca o metodă de determinare a modificărilor din punctul de vedere al acestui număr$\theta$ și a propus un criteriu pentru a decide când sunt necesare măsuri corective. Atunci când metoda CUSUM este aplicată modificărilor mediei, poate fi utilizată pentru detectarea salturilor într-o serie temporală.

Câțiva ani mai târziu, Format:Ill-wd a dezvoltat o metodă de vizualizare, diagrama măștilor în V, pentru a detecta atât creșteri, cât și scăderi în $\theta$.

Metodă

După cum sugerează și numele, CUSUM presupune cumularea sumei (ceea ce o face „secvențială”). Observațiilor dintr-un proces $x_n$ le sunt atribuite ponderi ${\omega }_n$și sunt însumate după cum urmează:

$S_0=0$

$S_{n+1}=\max (0,S_n+x_n-{\omega }_n)$

Atunci când valoarea S depășește o anumită valoare de prag, se consideră că a fost identificată o schimbare. Formula de mai sus detectează doar modificări în direcție pozitivă. Când trebuie identificate schimbări negative, în loc de operațiunea max trebuie să fie folosită operațiunea min, iar de această dată o schimbare este identificată atunci când valoarea S este sub valoarea (posibil negativă) de prag.

Page nu a menționat în mod explicit că $\omega$ reprezintă funcția de probabilitate, dar aceasta este interpretarea utilizată.

Exemplu

Următorul exemplu ilustrează 20 de observații dintr-un proces cu o valoare medie a X egală cu 0 și o deviație standard de 0,5. Se poate observa că valoarea lui Z nu este mai mare decât 3, deci alte diagrame de control nu ar trebui să fi detectat o schimbare, în timp ce folosind Cusum 17 arată valoarea de SH este mai mare decât 4.

Coloană	Descriere
$X$	Observațiile procesului cu media $\overline{x}$=0 și deviație standard ${\sigma }_X$=0.5
$Z$	Obervațiile normalizate, adică centrate în jurul mediei și scalate cu deviația standard $Z_n=\frac{X_n-\overline{x}}{{\sigma }_X}$
$S_H$	Valoarea CUSUM pozitivă, care detectează o anomalie pozitivă, ${S_H}_{n+1}=\max (0,{S_H}_n+Z_n-\omega )$
$S_L$	Valoarea CUSUM negativă, care detectează o anomalie negativă, ${S_L}_{n+1}=\max (0,{S_L}_n-Z_n-\omega )$