Teorema cosinusului

Unghiurile unui triunghi Format:Math (sau Format:Math), Format:Math (sau Format:Math), și Format:Math (sau Format:Math) sunt opuse laturilor Format:Math, Format:Math și Format:Math.

În geometria plană, teorema cosinusului, cunoscută și sub numele de teorema lui Pitagora generalizată stabilește relația dintre lungimea unei laturi a unui triunghi în funcție de celelalte două laturi ale sale și cosinusul unghiului dintre ele. Se găsește demonstrată și în Elementele lui Euclid (Propozițiile a 12-a și a 13-a din cartea a 2-a) într-o variantă de enunț care nu conține funcția trigonometrică cosinus, dar era cunoscută în formulare geometrică și de Hipocrate din Chios.

Prin intermediul acestei teoreme se pot demonstra alte teoreme cum ar fi teorema lui Stewart, teorema paralelogramului, etc.

Enunț

Într-un triunghi oarecare pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.

În triunghi se face o construcție auxiliară trasând înălțimea din vârful unghiului avut în vedere.

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos A$

$a^2=c^2+b^2-2cb\cos A$

sau:

$cos(BAC)=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB*AC}$

unde AB=c, AC=b și BC=a sunt laturile triunghiului ABC.

Enunțul cunoscut de Hipocrate din Chios pentru un triunghi oarecare ABC cu D piciorul perpendicularei din vârful A pe latura BC este:

$A{B}^2=B{C}^2+C{A}^2-2BC\cdot CD$

Demonstrații

Euclid

Euclid utiliza în demonstrație Teorema lui Pitagora atât în cazul unghiului obtuz cât și în cel al unghiului ascuțit dintre două laturi ale unui triunghi pentru aflarea lungimii laturii a treia.

Cazul unghiului obtuz

Triunghi obtuz Format:Math cu înălțimea Format:Math

Teorema cosinusului în trigonometria plană

În scopul aflării lungimii laturii opuse unghiului obtuz, se duce segmentul CH perpendicular pe prelungirea unei laturi a unghiului obtuz, formându-se triunghiurile (Format:Math și Format:Math). Notând Format:Math lungimea segmentului Format:Math și Format:Math înălțimea Format:Math, teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic Format:Math dă

$c^2=(b+d{)}^2+h^2,$

și triunghiul Format:Math dă o egalitate care conține una din laturile alăturate unghiului obtuz ca ipotenuză

$d^2+h^2=a^2.$

Dezvoltarea primei egalități dă

$c^2=b^2+2bd+d^2+h^2.$

Substituind a doua egalitate se obține:

$c^2=a^2+b^2+2bd.$

sau cu notații ale segmentelor prin capete:

$A{B}^2=C{B}^2+C{A}^2+2CA\cdot CH$

Aceasta e Propoziția 12 din cartea a 2-a din Elemente referitoare la cazul unghiului obtuz.

Pentru transformare în forma actuală, a se vedea cosinusul pentru unghiuri suplementare:

$d=a\cos (\pi -\gamma )=-a\cos \gamma =-CB\cdot cos(\gamma )$

obținându-se

$A{B}^2=C{B}^2+C{A}^2-2CA\cdot CB\cdot cos(\gamma )$

Cazul unghiului ascuțit

Cazul unghiului ascuțit este prezentat similar în Propoziția a 13-a din cartea a 2-a, tot pe baza teoremei lui Pitagora. Aceasta se aplică în cele două triunghiuri dreptunghice ABH și AHC formate de înălțimea din punctul A pe baza BC care este astfel divizată în două segmente BH și HC a căror lungime însumată egalează lungimea lui BC, în acest scop considerându-se un triunghi dreptunghic arbitrar ales spre a include latura necunoscută, oricare din ele putând fi ales.

Se substituie pătratul înălțimii între cele două egalități date de teorema lui Pitagora și se ține cont și suma segmentelor determinate de înălțime pe latura opusă unghiului de unde pornește înălțimea.

În triunghiul ABH corespunzător laturii alese ca necunoscută are loc egalitatea

$A{B}^2=B{H}^2+A{H}^2$

În triunghiul AHC conținând unghiul opus laturii de aflat are loc egalitatea

$C{A}^2=A{H}^2+H{C}^2$

De aici se exprimă pătratul lungimii înălțimii AH

$A{H}^2=C{A}^2-H{C}^2$

care se înlocuiește în egalitatea din triunghiul ABH unde se substituie și lungimea segmentului BH ca diferență din lungimea laturii BC

$BH=BC-HC$

Se obține

$A{B}^2=(BC-HC{)}^2+C{A}^2-H{C}^2$

Se dezvoltă pătratul diferenței obținându-se

$A{B}^2=B{C}^2+H{C}^2-2BC\cdot HC+C{A}^2-H{C}^2$

în care se reduce pătratul lungimii segmentului HC și se obține egalitatea dorită

$A{B}^2=B{C}^2+C{A}^2-2BC\cdot HC$

Mai departe se poate exprima trigonometric lungimea segmentului HC:

$HC=CA\cdot cos(\gamma )$.

Pe baza proprietăților cercului

Proprietățile cercului permit o demonstrație mai geometrică decât cea a lui Euclid.

Fig. a – triunghiul Format:Math (roz), un cerc auxiliar (mov) și un triunghi dreptunghic auxiliar (galben)

Cazul unghiului ascuțit Format:Math, unde Format:Math

Perpendiculara din Format:Math pe Format:Math = Format:Math, crează un segment de lungime Format:Math. Prin duplicarea triunghiului dreptunghic se formează un triunghi isoscel Format:Math. Construiește cercul cu centru Format:Math și rază Format:Math, și tangenta sa Format:Math prin Format:Math. Tangenta Format:Math formează un unghi drept cu raza Format:Math (Elementele: Cartea a 3-a, Propoziția 18), astfel triunghiul galben e dreptunghic. Prin teorema lui Pitagora:

$c^2=b^2+h^2.$

Prin teorema tangentei secante (Elementele: Cartea a 3-a, Propoziția 36) care spune că pătratul pe tangenta printr-un punct Format:Math exterior cercului e produsul celor două segmente (din Format:Math) create de orice secantă la cerc prin Format:Math în cazul prezent: Format:Math sau

$h^2=a(a-2b\cos \gamma ).$

Substituind in egalitatea anterioară rezultă

$c^2=b^2+a(a-2b\cos \gamma ).$

A se nota că Format:Math e puterea punctului Format:Math în raport cu cercul. Folosirea teoremei lui Pitagora și a tangent-secantei poate fi înlocuită de o singură aplicare a teoremei puterii punctului.

Fig b – Triunghiul Format:Math (roz), un cerc auxiliar (mov) și două triunghiuri dreptunghice auxiliare (galben)

Cazul unghiului ascuțit Format:Math, unde Format:Math.

Perpendiculara din Format:Math pe Format:Math = Format:Math, crează un segment de lungime Format:Math. Prin duplicarea triunghiului dreptunghic se formează un triunghi isoscel Format:Math. Construind cercul cu centru Format:Math și rază Format:Math și o coardă prin Format:Math perpendiculară la Format:Math jumătatea căreia e Format:Math prin teorema lui Pitagora se obține:

$b^2=c^2+h^2.$

Se utilizează apoi teorema coardelor (Elementele: Cartea a 3-a, Propoziția 35) despre produsul lungimilor segmentelor de pe o coardă intersectantă egal cu produsul celorlalte două segmente de pe cealaltă coardă:

În cazul acesta: Format:Math sau

$h^2=a(2b\cos \gamma -a).$

Substituind în egalitatea anterioară dă:

$b^2=c^2+a(2b\cos \gamma -a).$

În acest caz puterea punctului Format:Math în raport cu cercul are valoarea negativă Format:Math.

Cazul unghiului obtuz Format:Math

Demonstrație prin puterea punctului

În acest caz se utilizează puterea punctului direct, fără a apela la triunghiuri auxiliare bazate pe construcția vreunei tangente sau vreunei coarde.

Pentru un cerc cu centrul Format:Math și raza Format:Math (figura alăturată), care intersectează secanta prin Format:Math și Format:Math in Format:Math și Format:Math. Puterea punctului Format:Math în raport cu cercul este egală și cu Format:Math și cu Format:Math. Așadar,

$\begin{array}{cc}{c}^2-a^2& =b(b+2a\cos (\pi -\gamma ))\\ & =b(b-2a\cos \gamma ),\end{array}$

Prin utilizarea unor valori algebrice pentru lungimea segmentelor (incluzând numere negative pentru lungimi de segmente) se pot trata simultan cazurile unghiului ascuțit și al celui obtuz.

Prin teorema lui Pitagora și funcții trigonometrice

Se construiește înălțimea din unul din vârfurile laturii $c$, la fel ca în figura de la secțiunea Enunț.. Fără a restrânge generalitatea, se construiește înălțimea corespunzătoare laturii $b$. Se formează astfel două triunghiuri dreptunghice.

În triunghiul având ca ipotenuză latura $c$, se aplică teorema lui Pitagora, apoi se folosește identitatea trigonometrică: ${\cos }^2\gamma +{\sin }^2\gamma =1.$

$\begin{array}{cc}{c}^2& =(b-a\cos \gamma {)}^2+(a\sin \gamma {)}^2\\ & =b^2-2ab\cos \gamma +a^2{\cos }^2\gamma +a^2{\sin }^2\gamma \\ & =b^2+a^2-2ab\cos \gamma ,\end{array}$

Bibliografie

• Nicolae N. Mihăileanu, Istoria matematicii, vol. 1, Editura Științifică și enciclopedică, București, 1974