Dimensiune Hausdorff

În cadrul topologiei, dimensiunea Hausdorff este un număr real pozitiv, asociat unui spațiu metric și extinde noțiunea de dimensiune a unui spațiu vectorial real. A fost introdusă în 1918 de către Felix Hausdorff și dezvoltată ulterior de către Abram Samoilovici Bezicovici, de unde și denumirea de dimensiune Hausdorff-Bezicovici.

Definiție

Triunghiul lui Sierpinski, un spaţiu având dimensiunea fractală ln 3/ln 2, ori log₂3, care este circa 1,58.

Dimensiunea Hausdorff ne oferă un mijloc uzual de calculare a dimensiunii unui spațiu metric.

$H_{\delta }^s(E)=\inf \{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}diam(A_i{)}^s\}$

$H^s(E)=\underset{\delta \to 0}{\lim }{H}_{\delta }^s(E)$

${\dim }_H(E)=\inf \{s,H^s(E)=0\}=\sup \{s,H^s(E)=\mathrm{\infty }\}$

Exemplu

Determinarea dimensiunii Hausdorff pentru intervalul $X=[0,1]\subset ℝ$ :

• Pentru $s>1$

Pentru $\epsilon >0$ , fie numărul natural $N_{\epsilon }$ astfel ales încât $\frac{1}{N_{\epsilon }}<\epsilon$ .

Cu acoperirea specială

$A_i=[\frac{i-1}{N_{\epsilon }},\frac{i}{N_{\epsilon }}]$   pentru $1\le i\le N_{ϵ},A_i=1$ pentru $i\ge N_{\epsilon }$.

Urmează

$H_{\epsilon }^s(X)\le N_{\epsilon }\cdot (\frac{1}{N_{\epsilon }}{)}^s=(\frac{1}{N_{\epsilon }}{)}^{s-1}<{\epsilon }^{s-1}$.

• Pentru $s<1$

Deoarece $d(A_i)<\epsilon$ , avem:

$\sum d(A_i{)}^s=\sum \frac{d(A_i)}{d(A_i{)}^{1-s}}>\sum \frac{d(A_i)}{{\epsilon }^{1-s}}$ .

Cum însă $A_i$ intervalul $X$ acoperă, suma tuturor diametrelor va fi cel puțin 1:

$\ge \frac{1}{{\epsilon }^{1-s}}.$

Rezultă:

$H_{\epsilon }^s(X)\ge \frac{1}{{\epsilon }^{1-s}}$ .

Deci:

$H^s(X)=\mathrm{\infty }$ .

• Pentru $s=1$:

Considerând cele două cazuri anterioare, obținem:

$H^1(X)=1$ .

Așadar:

$\dim X=1$.

Cazuri concrete

• Cercul are dimensiune Hausdorff 1.

• Dimensiunea Hausdorff a reprezentării triadice Cantor este   $\frac{\ln 2}{\ln 3}$ .

• Dimensiunea Hausdorff a triunghiului lui Sierpinski este   $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ .

• Dimensiunea Hausdorff a traiectoriei mișcării browniene tinde către 2.

Bibliografie

• Besicovitch, A.S. - On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions, Mathematische Annalen 101 (1929)
• Mandelbrot, Benoît - The Fractal Geometry of Nature, Lecture notes in mathematics, W. H. Freeman, 1982. ISBN 0-7167-1186-9.

Vezi și

• Fractal

Legături externe

• Format:En icon Despre dimensiunea Hausdorff