Proprietatea lui Darboux

În analiza matematică, o funcție definită pe un interval al mulțimii numerelor reale și cu valori în aceasta are proprietatea lui Darboux atunci când nu poate trece de la o valoare la alta fără a trece prin toate valorile intermediare. O astfel de funcție se mai numește și funcție Darboux. Denumirea reprezintă un omagiu adus matematicianului francez Jean Gaston Darboux, cel care a demonstrat că există funcții cu proprietatea lui Darboux care sunt discontinue. Funcțiile Darboux pot fi chiar discontinue în orice punct.

Definiție, rezultate fundamentale

O funcție $f:I\to ℝ$, unde $I\subseteq ℝ$ este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux dacă pentru orice numere $a,b\in I$, cu $a\le b$, și $y\in [\min \{f(a),f(b)\},\max \{f(a),f(b)\}]$ există (cel puțin) un număr $x\in [a,b]$ astfel încât $f(x)=y$.

Orice funcție continuă, definită pe un interval, are proprietatea lui Darboux. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de teorema valorii intermediare.

O funcție $f:I\to ℝ$, unde $I\subseteq ℝ$ este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux dacă și numai dacă transformă orice subinterval $J\subseteq I$ într-un interval, $f(J)$.

O funcție are proprietatea lui Darboux dacă și numai dacă transformă orice submulțime conexă a intervalului său de definiție într-o mulțime conexă.

O funcție $f:I\to ℝ$, unde $I\subseteq ℝ$ este un interval nevid, care este bijectivă și are proprietatea lui Darboux este strict monotonă.

Dacă o funcție Darboux este discontinuă, atunci discontinuitățile sale sunt de speța a doua. Un exemplu de funcție Darboux discontinuă este dat de $f:ℝ\to ℝ$, cu formula $f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x},& x\ne 0,\\ 0,& x=0,\end{array}$ unde $x\in ℝ$.

Derivata $f^{\prime }$ a unei funcții derivabile $f:I\to ℝ$, unde $I\subseteq ℝ$ este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de teorema lui Darboux.

Dacă o funcție admite primitive, atunci ea este funcție Darboux.

Bibliografie

• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation
• Format:Citation