Ecuație de continuitate

Format:Referințe În fizică o ecuație de continuitate sau ecuație de transport este o ecuație care descrie transportul unei mărimi. Este un instrument deosebit de simplu și puternic atunci când este aplicat la o mărime care se conservă, dar poate fi generalizat pentru a se aplica oricărei proprietăți extensive. Deoarece masa, energia, impulsul, sarcina electrică și alte mărimi naturale se conservă în condițiile lor adecvate, folosind ecuații de continuitate pot fi descrise o varietate de fenomene fizice.

Masă

În absența unei surse de masă, pentru un volum material $\tau$, masa conținută nu variază în timp, ceea ce înseamnă că

$\frac{d}{dt}\underset{\tau }{\overset{}{\int }}\rho d\tau =0$

Dacă se consideră un volum de control oarecare fix $\tau *$, fluxul de masă care traversează suprafața $\sigma *$, ce înconjoară volumul $\tau *$, trebuie să se regăsească în variația masei volumului de control

$\underset{\tau *}{\overset{}{\int }}\frac{\partial \rho }{\partial t}d\tau =\underset{\sigma *}{\overset{}{\int }}\rho \overrightarrow{V}\overrightarrow{n}d\sigma$

sau, ținând seama de relația Gauss-Ostrogradski

$\underset{\tau *}{\overset{}{\int }}\frac{\partial \rho }{\partial t}d\tau -\underset{\tau *}{\overset{}{\int }}\mathrm{\nabla }(\rho \overrightarrow{V})d\tau =0$

Deoarece nu s-a făcut nici o ipoteză asupra mărimii volumului $\tau *$, se poate face ca acesta să tindă spre zero, adică

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }(\rho \overrightarrow{V})=0$

care este ecuația de continuitate valabilă în oricare punct al spațiului fluid.

Tetra-curenți

Conservarea unui curent al unui fluid generalizat, care nu este neapărat un fluid de tip curent electromagnetic, este exprimată compact de operatorul divergență al covariantei Lorentz a unui tetra-curent

$J^a=(c\rho ,𝐣)$

unde

c este viteza luminii

ρ este densitatea de sarcină

j este densitatea de curent convențională

a denumește dimensiunea spaţio-temporală

astfel încât

${\partial }_a{J}^a=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣$

atunci

${\partial }_a{J}^a=0$

ceea ce conduce la concluzia conservării curentului

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=0$

Vezi și

• Operatorul ∇
• Lege de conservare
• Format:Ill-wd
• Ecuațiile lui Euler (dinamica fluidelor)
• Ecuația lui Schrödinger
• Curgere incompresibilă
• Format:Ill-wd