Spațiu cu măsură

Format:DistingeUn spațiu cu măsură este un obiect de bază în teoria măsurii, o ramură a matematicii care studiază noțiuni generalizate ale volumelor. Conține o mulțime subiacentă, submulțimile acestei mulțimi care sunt fezabile pentru măsurare ([[Sigma-algebră|Format:Mvar-algebra]]) și metoda care este folosită pentru măsurare (măsura). Un exemplu important de spațiu cu măsură este un spațiu de probabilitate.

Un spațiu măsurabil este format din primele două componente fără o măsură specifică.

Definiție

Un spațiu cu măsură este un triplet $(X,𝒜,\mu ),$ unde

• $X$ este o mulțime;
• $𝒜$ este o [[Sigma-algebră|Format:Mvar-algebră]] pe mulțimea $X$;
• $\mu$ este o măsură pe $(X,𝒜)$.

Cu alte cuvinte, un spațiu cu măsură constă dintr-un spațiu măsurabil $(X,𝒜)$ împreună cu o măsură pe el.

Exemplu

Fie $X=\{0,1\}$. $\sigma$-algebra pe mulțimi finite este de obicei mulțimea părților, care este mulțimea tuturor submulților (ale unei mulțimi date) și este notată cu $\mathrm{\wp }(\cdot ).$ Respectând această convenție, alegem $$𝒜=\mathrm{\wp }(X).$$

În acest caz simplu, mulțimea părților poate fi scrisă în mod explicit: $$\mathrm{\wp }(X)=\{\varnothing ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}.$$

Ca măsură, definim $\mu$ prin $$\mu (\{0\})=\mu (\{1\})=\frac{1}{2},$$ deci $\mu (X)=1$ (din aditivitatea măsurilor) și $\mu (\varnothing )=0$ (din definiția măsurilor).

Aceasta conduce la spațiul cu măsură $(X,\mathrm{\wp }(X),\mu ).$ Este un spațiu de probabilitate, deoarece $\mu (X)=1.$ Măsura $\mu$ corespunde distribuției Bernoulli cu $p=\frac{1}{2},$ care este folosită, de exemplu, pentru a modela o monedă ideală.

Clase importante de spații cu măsură

Cele mai importante clase de spații cu măsură sunt definite de proprietățile măsurilor asociate acestora. Aceasta include, în ordine crescătoare a generalității:

• Spații de probabilitate, un spațiu cu măsură unde măsura este o măsură de probabilitate
• Spații de măsură finită, unde măsura este o măsură finită
• $\sigma$-spații de măsură finită, unde măsura este o $\sigma$-măsură finită

O altă clasă de spații cu măsură sunt spațiile cu măsură completă.