Trapezoedru hexagonal

În geometrie un trapezoedru hexagonal este un romboedru (un poliedru tridimensional cu fețe în formă de romboizi) în care, în plus, toate fețele sunt congruente. Având 12 fețe, este un dodecaedru neregulat. Este tranzitiv pe fețe și poate fi descris prin simbolul Conway dA6.

Este al patrulea dintr-o serie infinită de trapezoedre care sunt dualele antiprismelor, fiind dualul antiprismei hexagonale.

Simetrie

Grupul de simetrie al trapezoedrului hexagonal este D_6d de ordinul 24. grupul de rotație este D₆ de ordinul 12.

Variații

Un grad de libertate în simetria D₆ transformă romboizii în patrulatere congruente cu laturi de 3 lungimi diferite. La limită, o latură a fiecărui patrulater ajunge la lungimea zero, iar trapezoedrul devine o bipiramidă.

Aranjamentele cristaline ale atomilor se pot repeta în spațiu cu o configurație trapezoedrică hexagonală în jurul unui atom, care este întotdeauna enantiomorf, și cuprinde Format:Ill-wd 177–182. β-cuarțul este singurul mineral comun cu acest sistem cristalin.

Dacă romboizii care înconjoară cele două vârfuri sunt de forme diferite, acesta poate avea doar simetrie C_6v, de ordinul 12. Acestea pot fi numite trapezoedre inegale. Dualul este o antiprismă inegală, cu poligoanele de sus diferite de cele de jos. Dacă este răsucit și inegal, simetria sa se reduce la o simetrie ciclică, simetria C₆, de ordinul 6.

Exemple de variații

Tip	Trapezoedru răsucit (izoedric)		Trapezoedru inegal	Inegal și răsucit
Simetrie	D6, (662), [6,2]+, ordin 12		C6v, (*66), [6], ordin 12	C6, (66), [6]+, ordin 6
Imagine (n = 6)
Desfășurată

Mărimi asociate

Unghi diedru

Unghiul diedru al unui trapezoedru hexagonal regulat cu toate unghiurile diedre egale este:

$\arccos (-\frac{\sqrt{3}}{3})\approx 125,264390^{\circ }$

Dacă Format:Mvar este latura poliedrului dual (antiprisma hexagonală), atunci mărimile asociate sunt date de relațiile următoare:

Lungimile laturilor

Latura scurtă, Format:Mvar, are lungimea:

$a=\frac{1}{2}\sqrt{2(\sqrt{3}-1)}z\approx 0,605000z.$

Latura lungă, Format:Mvar, are lungimea:

$b=\frac{1}{2}\sqrt{2(5+3\sqrt{3})}z\approx 2,257892z.$

Volum

Volumul este:

$\frac{1}{2}\sqrt{2(19+11\sqrt{3})}{z}^3\approx 4,361912z^3\approx 19,697454,a^3.$

Poliedre înrudite

Poliedru dual

Dualul trapezoedrului hexagonal este antiprisma hexagonală.

Pavare sferică

Trapezoedrul hexagonal există și ca pavare sferică, cu 2 vârfuri la poli și vârfuri alternante la distanță egală deasupra și sub ecuator. Format:Trunchieri diedrice hexagonale

Legături externe

• Format:En icon Format:Mathworld
• Format:En icon Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra