Piramidă pătrată

În geometrie o piramidă pătrată este o piramidă care are baza un pătrat. Dacă apexul este situat perpendicular deasupra centrului pătratului, este o piramidă pătrată dreaptă și are simetria C_4v. Dacă toate lungimile laturilor sunt egale, este o piramidă pătrată echilaterală, care este poliedrul Johnson J₁.

Piramida pătrată oblică

O piramidă pătrată oblică cu latura bazei Format:Mvar și înălțimea Format:Mvar are volumul

$V=\frac{1}{3}{a}^{2}h$.

Piramida pătrată dreaptă

Într-o piramidă pătrată dreaptă, toate laturile laterale au aceeași lungime, iar fețele, în afară de bază, sunt triunghiuri isoscele congruente.

O piramidă pătrată dreaptă cu latura bazei Format:Mvar și înălțimea Format:Mvar are aria și volumul:

$A=l^2+l\sqrt{a^2+4h^2}$,

$V=\frac{1}{3}{a}^{2}h$.

Lungimea laturii laterale este:

$\sqrt{h^2+\frac{a^2}{2}}$;

iar apotema laterală este:

$\sqrt{h^2+\frac{a^2}{4}}$.

Unghiurile diedre sunt:

• între bază și fețele laterale:

$\arctan \left(\frac{2h}{a}\right)$;

• între două fețe laterale adiacente:

$\arccos \left(\frac{-a^2}{a^2+4h^2}\right)$.

Piramida pătrată echilaterală, poliedrul Johnson J₁

Dacă toate laturile au aceeași lungime, atunci fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale, iar piramida este o piramidă pătrată echilaterală, poliedru Johnson J₁.

Piramida pătrată Johnson poate fi caracterizată printr-un singur parametru, lungimea laturii Format:Mvar.

Înălțimea Format:Mvar (de la mijlocul pătratului până la apex), aria A (incluzând toate cele cinci fețe) și volumul V al unei piramide pătrate echilaterale sunt:

$h=\frac{1}{\sqrt{2}}a$ ,

$A=(1+\sqrt{3})a^2$,

$V=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^3$.

Unghiurile diedre ale piramidei pătrate echilaterale sunt:

• între bază și fețele laterale:

$\arctan \left(\sqrt{2}\right)\approx 54,73561^{\circ }$.

• între două fețe laterale adiacente:

$\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)\approx 109,47122^{\circ }$.

Graf

O piramidă pătrată poate fi reprezentată prin graful roată W₅.

Poliedre și faguri înrudiți

Un octaedru regulat poate fi considerat o bipiramidă pătrată, adică două piramide pătrate Johnson conectate între ele la baze.	hexaedrul tetrakis poate fi construit dintr-un cub cu piramide pătrate scurte adăugate pe fiecare față.	Un trunchi pătrat este o piramidă pătrată cu vârful trunchiat.

Piramidele pătrate umplu spațiul împreună cu tetraedre, cuburi trunchiate sau cuboctaedre.

Poliedru dual

Dualul piramidei pătrate	Desfășurata dualului

Topologic, piramida pătrată este un poliedru autodual. Lungimile laturilor dualului sunt diferite.

Bibliografie

• Format:En icon Norman Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Contains the original enumeration of the 92 solids and the conjecture that there are no others.
• Format:En icon Format:Cite book The first proof that there are only 92 Johnson solids.

Legături externe

• Format:Commonscat-inline
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Square Pyramid -- Interactive Polyhedron Model
• Format:En icon Virtual Reality Polyhedra georgehart.com: The Encyclopedia of Polyhedra (model VRML Format:Webarchive)