Grup diedral

Grupul de simetrie al unui fulg de zăpadă este D₆, o simetrie diedrală, la fel ca aceea a hexagonului regulat

Cele șase axe de simetrie de reflexie a hexagonului regulat

În matematică un grup diedralFormat:Efn este grupul de simetrii al unui poligon regulat, care include rotații și reflexii. Grupurile diedrale sunt printre cele mai simple exemple de grupuri finite și joacă un rol important în teoria grupurilor, geometrie și chimie.

Notația pentru grupul diedral diferă în geometrie față de cea din algebra abstractă. În geometrie Format:Math sau Format:Math se referă la simetriile unui Format:Math-gon, un grup de ordinul Format:Math. În algebra abstractă, Format:Math se referă la același grup diedral. În acest articol se folosește convenția geometrică a notației.

Definiție

Elemente

Un poligon regulat cu $n$ laturi are $2n$ simetrii diferite: $n$ simetrii de rotație și $n$ simetrii de reflexie. De obicei, aici se consideră $n\ge 3$. Rotațiile și reflexiile asociate formează grupul diedral ${\mathrm{D}}_n$. Dacă $n$ este impar, fiecare axă de simetrie conectează punctul de mijloc al unei laturi de vârful opus. Dacă $n$ este par, există $n/2$ axe de simetrie care leagă punctele de mijoc ale laturilor opuse și $n/2$ axe de simetrie care leagă vârfuri opuse. În ambele cazuri, există $n$ axe de simetrie și $2n$ elemente în grupul de simetrie. Reflexia față de o axă de simetrie urmată de reflexia față de o altă axă de simetrie produce o rotație de două ori mai mare decât unghiul dintre aceste axe.

Următoarea imagine arată efectul celor șaisprezece elemente ale lui ${\mathrm{D}}_8$ asupra unui Format:Ill-wd:

Primul rând arată efectul celor opt rotații, iar al doilea rând arată efectul celor opt reflexii, acționând în fiecare caz asupra indicatorului de oprire cu orientarea așa cum se arată în stânga sus.

Structura grupului

Ca pentru orice figură geometrică, Format:Ill-wd a două simetrii ale unui poligon regulat este și ea o simetrie a acelui obiect. Compunerea simetriilor este o operație binară care dă simetriilor unui poligon structura algebrică a unui grup finit.

Axele de reflexie etichetate S₀, S₁ și S₂ rămân fixe în spațiu (pe pagină) și nu se mișcă ele însele atunci când se face o operație de simetrie (rotire sau reflexie) asupra triunghiului (acest lucru contează când se fac compuneri de simetrii)

Compunerea acestor două reflexii este o rotație

Următoarea Format:Ill-wd arată efectul compunerii în grupul D₃ (simetriile unui triunghi echilateral). Cu r₀ se notează identitatea; cu r₁ și r₂ rotațiile în sens antiorar cu 120°, respectiv 240° și cu s₀, s₁ și s₂ reflexiile față de cele trei axe prezentate în imaginea alăturată.

	r0	r1	r2	s0	s1	s2
r0	r0	r1	r2	s0	s1	s2
r1	r1	r2	r0	s1	s2	s0
r2	r2	r0	r1	s2	s0	s1
s0	s0	s2	s1	r0	r2	r1
s1	s1	s0	s2	r1	r0	r2
s2	s2	s1	s0	r2	r1	r0

De exemplu, Format:Mvar₂Format:Mvar₁ = Format:Mvar₁ deoarece reflexia Format:Mvar₁ urmată de reflexia Format:Mvar₂ dă rotația cu 120°. Ordinea elementelor de compunere este de la dreapta la stânga, conform convenției că elementul acționează asupra expresiei din dreapta sa. Operația de compunere nu este comutativă.

În general, grupul Format:Mvar are elementele Format:Mvar₀, ..., Format:Mvar_n−1 și Format:Mvar₀, ..., Format:Mvar_n−1, cu compunerea dată de formulele următoare:

${\mathrm{r}}_i{\mathrm{r}}_j={\mathrm{r}}_{i+j},{\mathrm{r}}_i{\mathrm{s}}_j={\mathrm{s}}_{i+j},{\mathrm{s}}_i{\mathrm{r}}_j={\mathrm{s}}_{i-j},{\mathrm{s}}_i{\mathrm{s}}_j={\mathrm{r}}_{i-j}.$

În toate cazurile adunarea și scăderea indicilor trebuie efectuate modulo Format:Mvar.

Grupuri diedrale mici

Exemple de subgrupuri dintr-o simetrie diedrică hexagonală

Format:Math este izomorf cu Format:Math, Format:Ill-wd de ordinul 2. Format:Math este izomorf cu Format:Math, grupul lui Klein. Format:Math și Format:Math sunt excepționale prin faptul că:

• Format:Math și Format:Math sunt singurele grupuri abeliene diedrale. Celelalte, Format:Math, nu sunt abeliene.
• Format:Math este un subgrup al Format:Ill-wd Format:Math pentru Format:Math. Deoarece Format:Math, Format:Math este prea mare pentru a fi un subgrup pentru Format:Math și Format:Math.
• Grupul de Format:Ill-wd Format:Math este trivial, în timp ce pentru alte valori pare ale lui Format:Mvar, aceasta este Format:Math.

Format:Ill-wd ale grupurilor diedrale constau dintr-un ciclu de n elemente și n cicluri de 2 elemente. Vârful (punctul) negru din grafurile ciclice de mai jos ale diferitelor grupuri diedrale reprezintă elementul neutru, iar celelalte vârfuri sunt celelalte elemente ale grupului. Un ciclu constă din puteri succesive ale oricăruia dintre elementele conectate la elementul neutru.

Grafuri ciclice

D1 = Z2	D2 = Z22 = K4	D3	D4	D5
DFormat:Sub = DFormat:Sub × ZFormat:Sub	DFormat:Sub	D8	D9	DFormat:Sub = DFormat:Sub × ZFormat:Sub

D3 = S3	D4

Grupul diedral ca grup de simetrie în spațiul bidimensional și grup de rotație în spațiul tridimensional

Un exemplu de grup abstract Format:Math_n, și o modalitate obișnuită de a-l vizualiza este grupul de izometrie al planului euclidian care păstrează originea fixă. Aceste grupuri formează una dintre cele două serii de grupuri punctuale discrete în spațiul bidimensional. Format:Math constă din Format:Math rotații de multipli de Format:Math în jurul originii și reflexii față de Format:Math axe care trec prin origine, făcând unghiuri de multipli de Format:Math una cu cealaltă. Acesta este grupul de simetrie al unui poligon regulat cu Format:Mvar laturi (pentru Format:Math; aceasta se extinde la cazurile Format:Math și Format:Math în care avem un plan cu un punct deplasat față de „centrul” „1-gonului”, și un „2-gon”, adică un segment).

Format:Math este Format:Ill-wd de o rotație Format:Math de ordinul Format:Math și o reflexie Format:Math de ordinul 2 astfel încât

$\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{s}={\mathrm{r}}^{-1}$

În termeni geometrici: în oglindă o rotație arată ca o rotație în sens invers.

În ceea ce privește numerele complexe: operația corespunde înmulțirii cu $e^{\frac{2\pi i}{n}}$ și conjugării complexe.

În formă matricială, punând

${\mathrm{r}}_1=\left[\begin{array}{cc}\cos \frac{2\pi }{n}& -\sin \frac{2\pi }{n}\\ \sin \frac{2\pi }{n}& \cos \frac{2\pi }{n}\end{array}\right]{\mathrm{s}}_0=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

și definind ${\mathrm{r}}_j={\mathrm{r}}_1^j$ și ${\mathrm{s}}_j={\mathrm{r}}_j{\mathrm{s}}_0$ pentru $j\in \{1,\dots ,n-1\}$ se poate scrie regula produsului lui D_n ca

$\begin{array}{cc}{\mathrm{r}}_j{\mathrm{r}}_k& ={\mathrm{r}}_{(j+k)\text{ mod }n}\\ {\mathrm{r}}_j{\mathrm{s}}_k& ={\mathrm{s}}_{(j+k)\text{ mod }n}\\ {\mathrm{s}}_j{\mathrm{r}}_k& ={\mathrm{s}}_{(j-k)\text{ mod }n}\\ {\mathrm{s}}_j{\mathrm{s}}_k& ={\mathrm{r}}_{(j-k)\text{ mod }n}\end{array}$

Grupul diedral D₂ este generat de rotația Format:Math de 180° și reflexia Format:Math pe axa x. Elementele lui D₂ pot fi apoi reprezentate ca Format:Math, unde Format:Mvar este elementul neutru sau transformarea nulă, iar Format:Math este reflexia față de axa y.

Cele patru elemente ale D₂ (aici axa x este verticală)
Identic (e), rotit cu 180° (r), reflectat (f), rotit și reflectat (rf)

D₂ este izomorf cu grupul lui Klein.

Pentru n > 2 operațiile de rotație și reflexie nu sunt comutative în general și D_n nu este abelian. De exemplu, în D₄, o rotație de 90° urmată de o reflexie dă un rezultat diferit de o reflexie urmată de o rotație de 90°.

D₄ nu este abelian (aici axa x este verticală)
rotit cu 90°, reflectat, reflectat după y, reflectat după y și rotit cu 90°

Astfel, dincolo de aplicarea lor evidentă la problemele de simetrie în plan, aceste grupuri sunt printre cele mai simple exemple de grupuri neabeliene și, ca atare, apar frecvent drept contraexemple ușoare ale teoremelor care sunt limitate la grupurile abeliene.

Elementele Format:Math ale lui Format:Math pot fi scrise ca Format:Math, Format:Math, Format:Math, ... , Format:Math, Format:Math, Format:Math, Format:Math, ... , Format:Math . Primele Format:Math elemente enumerate sunt rotații, iar restul de Format:Math elemente sunt reflexii față de axă (toate au ordinul 2). Compunerea a două rotații sau două reflexii este o rotație; compunerea unei rotații și a unei reflexii este o reflexie. Format:-

Exemple de simetrie diedrală în spațiul bidimensional

• 
  Simetrie D₁₆ – Sigiliu imperial al Japoniei, reprezentând crizantema cu șaisprezece petale
• 
  Simetrie D₆ – Steaua lui David Roșie
• 
  Simetrie D₁₂ – Drapelul naval al Taiwanului (Soarele alb)
• 
  Simetrie D₂₄ – Ashoka Chakra, cum apare pe drapelul Indiei

Legături externe

• Format:En icon Dihedral Group n of Order 2n by Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project.
• Format:En icon Dihedral group at Groupprops
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Format:MathWorld
• Format:En icon Dihedral groups on GroupNames