Număr triunghiular și pătratic

Format:Pentru Format:Infocaseta Șiruri de numere întregi În matematică, un număr triunghiular și pătratic sau număr pătratic și triunghiular este un număr care este atât un număr triunghiular, cât și un număr pătratic. Există infinit de multe asemenea numere, primele câteva sunt:

0, 1, 36 (număr), 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625

Formule

Notând cu Format:Math al Format:Mvar-lea număr triunghiular și pătratic, cu Format:Math respectiv Format:Math numerele corespunzătoare pătratice și triunghiulare există relația:

$N_k=s_k^2=\frac{t_k(t_k+1)}{2}.$

Fie Format:Mvar rădăcina triunghiulară a unui număr triunghiular Format:Math. Rezolvând această ecuație de gradul 2 se obține:

$n=\frac{\sqrt{8N+1}-1}{2}.$

Deci, Format:Mvar este triunghiular (Format:Mvar este întreg) dacă și numai dacă Format:Math este un pătrat. Prin urmare, numărul pătratic Format:Math este și el triunghiular dacă și numai dacă Format:Math este un pătrat, adică numerele Format:Mvar și Format:Mvar satisfac relația Format:Math. Aceasta este o ecuație Pell cu Format:Math. Toate ecuațiile Pell au pentru orice Format:Mvar soluția trivială Format:Math, care idexată este notată Format:Math. Dacă Format:Math este cea de a Format:Mvar-a soluție netrivială a oricărei ecuații Pell pentru un Format:Mvar dat, se poate arăta că

$\begin{array}{cc}{x}_{k+1}& =2x_k{x}_1-x_{k-1},\\ y_{k+1}& =2y_k{x}_1-y_{k-1}.\end{array}$

Există o infinitate de soluții la orice ecuație Pell, printre care există una netrivială ori de câte ori Format:Mvar nu este un pătrat. Prima soluție netrivială când Format:Math este (3,1). Soluția Format:Math pentru Format:Math dă un număr triunghiular și pătratic și rădăcinile sale pătratice și triunghiulare după cum urmează:

$s_k=y_k,t_k=\frac{x_k-1}{2},N_k=y_k^2.$

Prin urmare, primul număr triunghiular și pătratic, derivat din (3,1), este 1, iar următorul, derivat din Format:Nowrap, este 36.

Șirurile Format:Math, Format:Math și Format:Math sunt șirurile OEIS A001110, respectiv OEIS A001109 și OEIS A001108.

În 1778 Leonhard Euler a determinat formula explicită

$N_k={\left(\frac{{(3+2\sqrt{2})}^k-{(3-2\sqrt{2})}^k}{4\sqrt{2}}\right)}^2.$

Alte formule echivalente (obținute prin dezvoltarea acestei formule) sunt:

$\begin{array}{cc}{N}_k& =\frac{1}{32}{({(1+\sqrt{2})}^{2k}-{(1-\sqrt{2})}^{2k})}^2\\ & =\frac{1}{32}({(1+\sqrt{2})}^{4k}-2+{(1-\sqrt{2})}^{4k})\\ & =\frac{1}{32}({(17+12\sqrt{2})}^k-2+{(17-12\sqrt{2})}^k).\end{array}$

Formulele explicite corespondente pentru Format:Math și Format:Math sunt:

$\begin{array}{cc}{s}_k& =\frac{{(3+2\sqrt{2})}^k-{(3-2\sqrt{2})}^k}{4\sqrt{2}},\\ t_k& =\frac{{(3+2\sqrt{2})}^k+{(3-2\sqrt{2})}^k-2}{4}.\end{array}$

Relații de recurență

Există relații de recurență pentru numerele triunghiulare și pătratice, precum și pentru laturile pătratului și triunghiului implicat:

$\begin{array}{cccc}{N}_k& =34N_{k-1}-N_{k-2}+2,& \text{with }{N}_0& =0\text{ and }{N}_1=1;\\ N_k& ={(6\sqrt{N_{k-1}}-\sqrt{N_{k-2}})}^2,& \text{with }{N}_0& =0\text{ and }{N}_1=1.\end{array}$

Și:

$\begin{array}{cccc}{s}_k& =6s_{k-1}-s_{k-2},& \text{with }{s}_0& =0\text{ and }{s}_1=1;\\ t_k& =6t_{k-1}-t_{k-2}+2,& \text{with }{t}_0& =0\text{ and }{t}_1=1.\end{array}$