Matricea Vandermonde

În algebră, o matrice Vandermonde, numită după Alexandre-Théophile Vandermonde, este o matrice de forma:

$V=\left[\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& {\alpha }_1^2& \dots & {\alpha }_1^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_2^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& {\alpha }_3^2& \dots & {\alpha }_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& {\alpha }_m& {\alpha }_m^2& \dots & {\alpha }_m^{n-1}\end{array}\right]$

Determinantul unei matrici pătratice Vandermonde (m=n) poate fi exprimat astfel:

$\det (V)=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i).$

Demonstrație

Calculând determinantul cu formula lui Leibniz:

$\det (V)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{\alpha }_i^{\sigma (i)-1},$

unde S_n înseamnă mulțimea permutărilor lui $\mathbb{Z}\cap [1,n]$, iar sgn(σ) este signatura permutării

Se demonstrează prin inducție că:

$\det (V)=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$

Pentru (n=2), se verifică imediat. Pentru (n>2), executăm operația elementară

$C_i$ ← $C_i-({\alpha }_1\times C_{i-1})$

asupra coloanelor, scăzând din coloana n coloana (n-1) înmulțită cu coeficientul ${\alpha }_1$, apoi din coloana (n-1) coloana (n-2) înmulțită cu ${\alpha }_1$..., din coloana 2 coloana 1 înmulțită cu ${\alpha }_1$, - astfel încât în final pe prima linie să rămână 1 numai în poziția (1,1) și în rest zerouri. Determinantul rămâne neschimbat, și egal cu:

$\det (V)=\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\\ 1& {\alpha }_2-{\alpha }_1& {\alpha }_2({\alpha }_2-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_2^{n-2}({\alpha }_2-{\alpha }_1)\\ 1& {\alpha }_3-{\alpha }_1& {\alpha }_3({\alpha }_3-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_3^{n-2}({\alpha }_3-{\alpha }_1)\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\alpha }_n-{\alpha }_1& {\alpha }_n({\alpha }_n-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_n^{n-2}({\alpha }_n-{\alpha }_1)\end{array}\right|$

Dezvoltând după prima linie:

$\det (V)=1\times \left|\begin{array}{cccc}{\alpha }_2-{\alpha }_1& {\alpha }_2({\alpha }_2-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_2^{n-2}({\alpha }_2-{\alpha }_1)\\ {\alpha }_3-{\alpha }_1& {\alpha }_3({\alpha }_3-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_3^{n-2}({\alpha }_3-{\alpha }_1)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\alpha }_n-{\alpha }_1& {\alpha }_n({\alpha }_n-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_n^{n-2}({\alpha }_n-{\alpha }_1)\end{array}\right|$

Conform proprietății de multiliniaritate a determinantului:

$\det (V)=({\alpha }_2-{\alpha }_1)({\alpha }_3-{\alpha }_1)\dots ({\alpha }_n-{\alpha }_1)\left|\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_2^{n-2}\\ 1& {\alpha }_3& {\alpha }_3^2& \dots & {\alpha }_3^{n-2}\\ 1& {\alpha }_4& {\alpha }_4^2& \dots & {\alpha }_4^{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\alpha }_n& {\alpha }_n^2& \dots & {\alpha }_n^{n-2}\end{array}\right|$

de unde, prin inducție matematică, se obține rezultatul cerut.