Teorema Gauss–Bonnet

Teorema Gauss–Bonnet, sau formula Gauss–Bonnet, este o teoremă importantă din domeniul suprafețelor, care face evidentă legătura dintre geometrie și topologie.

Forma locală

Fie (U, h) o parametrizare semigeodezică, cu U homeomorfă cu un disc plan deschis, compatibilă cu orientarea suprafeței orientate S. Fie $R\subset h(U)$ o regiune simplă și $\gamma :[0,l]\to S$ parametrizată canonic, pozitiv orientată astfel încât $\partial R=Im\gamma .$

Fie $\gamma (s_i)$ vârfurile lui $\gamma ,{\theta }_i$ unghiurile exterioare corespunzătoare, $i=\overline{0,k+1}.$

Atunci are loc formula:

$\sum _{i=0}^k\underset{s_i}{\overset{s_{i+1}}{\int }}{k}_g(s)+\int \underset{R}{\int }Kds+\sum _{i=0}^k{\theta }_i=2\pi$

unde $k_g$ este curbura geodezică a arcelor diferențiale ale lui $\gamma ,$ K este curbura gaussiană și $d\sigma$ este elementul de suprafață.

Demonstrație

Fie $X={\gamma }^{\prime }(s)$ (pe porțiunile diferențiale ale curbei). Avem:

$\left[\frac{\mathrm{\nabla }X}{d𝑠}\right]=\left[\frac{\mathrm{\nabla }{\gamma }^{\prime }(s)}{d𝑠}\right]=k_g(s).$

Utilizăm următoarele leme:

Lema 1

$\left[\frac{\mathrm{\nabla }Y}{dt}\right]-\left[\frac{\mathrm{\nabla }X}{dt}\right]=\frac{d\phi }{dt}$

Lema 2

Fie (U, h) o parametrizare ortogonală, X un câmp unitar pe $\gamma$ și $\phi$ unghiul dintre $h_1$ și X. Atunci:

$\left[\frac{\mathrm{\nabla }X}{d𝑡}\right]=\frac{1}{2\sqrt{g_{11}{g}_{22}}}\{\frac{\partial g_{22}}{\partial u^1}\frac{d{u}^2}{dt}-\frac{\partial g_{11}}{\partial u^2}\frac{d{u}^1}{dt}\}+\frac{d\phi }{dt}$

Demonstrația lemei.

Normăm câmpurile $h_1$ și $h_2$:

$e_1=\frac{h_1}{\sqrt{g_{11}}},e_2=\frac{h_1}{\sqrt{g_{22}}}.$

Atunci $e_1\times e_2=N$ și, conform lemei 1,

$\left[\frac{\mathrm{\nabla }X}{dt}\right]=\left[\frac{\mathrm{\nabla }{e}_1}{dt}\right]+\frac{d\phi }{dt}$

Legături externe

• Format:En icon Wolfram MathWorld
• Format:En icon Maths.Manchester.ac.ukFormat:Legătură nefuncțională

Format:Ciot-geometrie