Teorema Weierstrass-Bolzano

În analiza matematică, teorema Weierstrass-Bolzano exprimă o proprietate esențială a topologiei numerelor reale.

Este asociată matematicienilor Karl Weierstrass și Bernard Bolzano.

Enunț

O submulțime mărginită și infinită de numere reale are cel puțin un punct de acumulare.

Demonstrație

Fie A o mulțime mărginită și infinită de numere reale. Există $a,b\in ℝ$ cu $a<x<b$ pentru orice $x\in A.$ Luăm $a_0=a,b_0=b$ și considerăm $c=\frac{a_0+b_0}{2}.$

Cel puțin unul din intervalele $[a_0,c],[c,b_0]$ conține o infinitate de elemente din A. Se notează acest interval prin $[a_1,b_1].$ Deci $[a_1,b_1]\subset [a_0,b_0]$ și că $b_1-a_1=\frac{b-a}{2}.$ Repetând raționamentul, rezultă o familie de intervale $I_n=[a_n,b_n]$ cu proprietățile:

a) $I_{n+1}\subset I_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

b) $b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}.$

Prima proprietate permite aplicarea principiului Cantor-Dedekind, de unde va rezulta că intersecția familiei de intervale este nevidă, adică va conține intervalul $[\alpha ,\beta ]$ ce apare în demonstrația principiului.

Folosind a doua proprietate și principiul lui Arhimede, se va arăta că intersecția familiei de intervale se reduce la un singur număr real, adică faptul că $\alpha =\beta .$

Din $a_n<\alpha <\beta <b_n$ pentru orice $n\in \mathbb{N}$ rezultă că:

$\beta -\alpha <b_n-a_n<\frac{b-a}{2^n},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

și se obține:

$2^n(\beta -\alpha )<b-a,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.$

Aplicând principiul lui Arhimede pentru $x=b-a$ și pentru $y=\beta -\alpha >0$ rezultă că există $n\in \mathbb{N}$ cu:

$b-a<n(\beta -\alpha )<2^n(\beta -\alpha )$

fapt ce contrazice inegalitatea stabilită anterior, respectiv:

$2^n(\beta -\alpha )<b-a,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}.$

Se notează prin $x_0$ valoarea comună a lui $\alpha$ și $\beta .$ Pentru aceasta se demonstrează că $x_0$ este punct de acumulare pentru mulțimea A.

Fie $V=(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$ o vecinătate a lui $x_0.$ Se demonstrează mai întâi că există $a_n$ și $b_m$ cu

$x_0-\epsilon <a_n<b_m<x_0+\epsilon .$

Dacă pentru orice n avem că $a_n<x_0-\epsilon$ atunci obținem că $[x_0-\epsilon ,x_0]\subseteq [a_n,b_n]$ pentru orice n deci ar rezulta că intersecția intervalelor nu se reduce la un punct. Similar se obține existența lui $b_m$ cu proprietatea menționată. În fapt, inegalitățile:

$x_0-\epsilon <a_n<b_m<x_0+\epsilon$

rezultă imediat și din construcția lui $\alpha$ și $\beta .$ Fie în continuare $k=\max \{n,m\}.$

Avem inegalitățile:

$x_0-\epsilon <a_n<a_k<b_k<b_m<x_0+\epsilon$

și deoarece intervalul $[a_k,b_k]$ conține o infinitate de elemente din mulțimea A, rezultă că $x_0$ este un punct de acumulare al mulțimii.

Legături externe

• Format:En icon Wolfram MathWord