Factorial

În matematică factorialul unui număr întreg pozitiv Format:Mvar, notat cu Format:Math, este egal cu produsul numerelor naturale mai mici sau egale cu Format:Mvar. Este o funcție numerică discretă și o operație unară (cu un singur operand). Este întâlnit în combinatorică și în alte formule matematice cum ar fi coeficienții din binomul lui Newton sau formula lui Taylor.

Exemple:

5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120

0! = 1

(caz special stipulat prin definiție)

Factorialul unui număr oarecare Format:Mvar indică numărul de permutări (numărul de posibilități de rearanjare) ale unei mulțimi finite având Format:Mvar elemente.

Poate fi aproximat prin formula lui Stirling.

Definiție

Funcția factorial este definită de:

n! = \prod_{k = 1}^{n} k

sau, recursiv, de:

n! = {\begin{matrix} 1 & , n = 0, \\ (n - 1)! \times n & , n > 0 . \end{matrix}

Suma inverselor factorialelor numerelor de la 0 la n, când n tinde spre infinit, este egală cu constanta e:

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} = e = 2, 718 281 828 459 \dots

Aceasta este o consecință a dezvoltării în serie Maclaurin a funcției exponențiale:

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

.

pentru cazul particular $x = 1$ .^[2]

↑ Format:OEIS; valorile specificate în tabel ca notație științifică sunt rotunjite la precizia afișată
↑ Format:En icon Format:Citation