Constanta Euler–Mascheroni

Format:Numere iraționale
Binar	Format:Gaps
Decimal	Format:Gaps
Hexadecimal	Format:Gaps
fracție continuă	Format:Nowrap (Această fracție continuată nu este periodică.)

În analiza matematică și în teoria numerelor, Constanta Euler–Mascheroni (de asemenea numită și Constanta lui Euler) este o constantă matematică, de obicei notată cu consoana mică de tipar grecească $\mathit{\gamma }$ (gamma). Poartă numele matematicienilor Leonhard Euler și Lorenzo Mascheroni.

Este definită ca limita diferenței dintre seriile armonice și logaritmul natural:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n))=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x})dx.$

Valoarea ei numerică, estimată până la cea de-a 50-a zecimală, este:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 … Format:OEIS.

$\gamma$ nu trebuie confundată cu baza logaritmului natural, e, care este câteodată numită numărul lui Euler.

Istorie

Constanta a apărut pentru prima dată într-un articol din 1735 de matematicianul elvețian Leonhard Euler, întitulat De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43). Euler a folosit notațiile C și O pentru constanta lui. În 1790, matematicianul italian Lorenzo Mascheroni a folosit notațiile A sau a pentru constanta lui Euler. Notația γ nu apare nicăieri în notele lui Euler sau ale lui Mascheroni, și a fost aleasă mai târziu datorită conexiunii constantei cu funcția gamma. De exemplu, matematicianul german Carl Anton Bretschneider a folosit notația γ în 1835.

Proprietăți

Numărul γ nu a fost descris ca un număr algebric sau transcendent. De fapt, nici măcar nu se știe cu exactitate dacă este irațional. Analiza fracției continuate demonstrează că dacă γ este rațional, numitorul lui trebuie să fie mai mare decât 10²⁴²⁰⁸⁰. Ubicuitatea numărului γ este arătat de numărul mare de ecuații (prezentate mai jos) face iraționalitatea constantei γ un subiect major în matematică.

Pentru mai multe ecuații de tipul prezentat mai jos, a se vedea Gourdon and Sebah (2002).

Relația funcției Gamma

γ este asemănător cu funcția Digamma (Ψ), și de aici, derivatele funcțiilor Gamma (Γ), însă ambele funcții sunt evaluate la 1. Astfel:

$-\gamma ={\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1)=\mathrm{\Psi }(1).$

Aceasta este egală cu limitele:

$-\gamma =\underset{z\to 0}{\lim }\{\mathrm{\Gamma }(z)-\frac{1}{z}\}=\underset{z\to 0}{\lim }\{\mathrm{\Psi }(z)+\frac{1}{z}\}.$

Alte rezultate ale limitelor sunt (Krämer, 2005):

$\underset{z\to 0}{\lim }\frac{1}{z}\{\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1+z)}-\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-z)}\}=2\gamma$

$\underset{z\to 0}{\lim }\frac{1}{z}\{\frac{1}{\mathrm{\Psi }(1-z)}-\frac{1}{\mathrm{\Psi }(1+z)}\}=\frac{{\pi }^2}{3{\gamma }^2}.$

O limită asemănătoare cu funcția beta (exprimată în termenii funcțiilor Gamma) este

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\{\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{n})\mathrm{\Gamma }(n+1)n^{1+1/n}}{\mathrm{\Gamma }(2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^2}{n+1}\}.$

$\gamma =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{m\to \mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\frac{(-1{)}^k}{k}\ln (\mathrm{\Gamma }(k+1)).$

Relația cu funcția Zeta

γ poate fi de asemenea exprimată ca o sumă infinită ale cărei termeni includ funcția Zeta Riemann evaluată la un întreg pozitiv:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\zeta (m)}{m}\\ & =\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)+\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{\zeta (m)}{2^{m-1}m}.\end{array}$

Alte serii asemănătoare cu funcția zeta includ:

$\begin{array}{cc}\gamma & =\frac{3}{2}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^m\frac{m-1}{m}[\zeta (m)-1]\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{2n-1}{2n}-\ln n+\sum _{k=2}^n(\frac{1}{k}-\frac{\zeta (1-k)}{n^k})]\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }[\frac{2^n}{e^{2^n}}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{mn}}{(m+1)!}\sum _{t=0}^m\frac{1}{t+1}-n\ln 2+O\left(\frac{1}{2^n{e}^{2^n}}\right)].\end{array}$

Termenul eronat din ultima ecuație este o funcție care descrește rapid, a lui n. Ca rezultat, formula este gata pentru calculul eficient al constantei cu o mare precizie.

Alte limite interesante egale cu constanta Euler–Mascheroni sunt limitele antisimetrice (Sondow, 1998):

$\gamma =\underset{s\to 1^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n})=\underset{s\to 1}{\lim }(\zeta (s)-\frac{1}{s-1})$

și

$\begin{array}{c}\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(\lceil \frac{n}{k}\rceil -\frac{n}{k}).\end{array}$

Foarte asemănătoare cu acestea sunt seriile zeta raționale. Prin excluderea primilor termeni ai seriilor de mai jos, se obține o aproximare pentru limita clasică a seriilor:

$\gamma =\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n-\sum _{m=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (m,n+1)}{m}$

unde ζ(s,k) este funcția zeta Hurwitz. Suma acestei ecuații include numerele armonice, H_n. Extinzând unii termeni în funcția zeta Hurwitz rezultă:

$H_n=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\epsilon$, unde $0<\epsilon <\frac{1}{252n^6}.$

Integrale

γ este egal cu valoarea unui număr definit integral:

$\begin{array}{cc}\gamma & =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}\ln xdx\\ & =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \ln \left(\frac{1}{x}\right)dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x{e}^x})dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\frac{1}{\ln x}+\frac{1}{1-x})dx\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{1+x^k}-e^{-x})\frac{dx}{x},k>0.\end{array}$

Integralele definite în care γ este inclus:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}\ln xdx=-\frac{1}{4}(\gamma +2\ln 2)\sqrt{\pi }$

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{\ln }^{2}xdx={\gamma }^2+\frac{{\pi }^2}{6}.$

Numai o ecuație folosește γ cu un caz special al Formulei lui Hadjicostas ca o integrală dublă cu seriile echivalente :

$\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x-1}{(1-xy)\ln (xy)}dxdy=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\ln \frac{n+1}{n}).$

O comparație interesantă de J. Sondow (2005) este dubla integrală si seriile alternate:

$\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x-1}{(1+xy)\ln (xy)}dxdy=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}(\frac{1}{n}-\ln \frac{n+1}{n}).$

Aceasta arată că $\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)$ poate fi abordată ca o "Constanta alternativă Euler".

Cele 2 constante sunt de asemenea asemănătoare cu următoarele 2 serii:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_1(n)+N_0(n)}{2n(2n+1)}=\gamma$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{N_1(n)-N_0(n)}{2n(2n+1)}=\ln \left(\frac{4}{\pi }\right)$

unde N₁(n) și N₀(n) sunt numerele 1 și 0, respectiv, în baza 2 a extinderii lui n.

De asemenea, aceasta este constanta Catalan din 1875:

$\gamma =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2^n-1}dx.$